2.4 Небайесовский метод оценивания.

оцениваемой величины при увеличении числа измерений k , т. е.

положительное число. Аналогично можно определить состоятельность оценки и в векторном случае.

Для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что математическое ожидание соответствует случаю фиксированного значения оцениваемого параметра, у этой матрицы введен аргумент x . Именно эта матрица и может быть использована при решении задачи анализа точности.

Понятие эффективности оценки связано с так называемым неравенством Рао-Крамера. Для

точность решения задачи в рамках небайесовского подхода. Будем называть эту матрицу -

матрицей, характеризующей нижнюю границу точности, или просто матрицей нижней границы. Для справедливости приведенного неравенства требуется, чтобы f ( y / x) удовлетворяла условиям регулярности, суть которых сводится к абсолютной интегрируемости и существованию первых и вторых производных по x . Оценка, для которой в (2.4.7) достигается знак равенства, называется

эффективной небайесовской оценкой. Стоящая справа в выражении (2.4.8) матрица называется

в сущности означающее, что какой бы ни выбирался любой другой алгоритм вычисления несмещенной оценки, соответствующая ему матрица ковариаций ошибок будет всегда меньше или равна матрице, обратной информационной матрице Фишера.

58

Использование неравенства Рао-Крамера оказывается весьма полезным при анализе точности, поскольку с его помощью удается оценить потенциально достижимую точность без построения самой процедуры оценивания.

2.4.3Метод максимума правдоподобия

Ксожалению, в рамках небайесовского подхода не удается установить общего правила нахождения оценок, минимизирующих критерий (2.4.3). В связи с этим выбор того или иного алгоритма оценивания в предположении о случайном характере ошибок измерения проводят путем сравнения соответствующих им значений критерия и сопоставления свойств получающихся оценок.

Наибольшее распространение в рамках небайесовского подхода получил алгоритм вычисления оценок, основанный на максимизации f ( y / x) как функции x при фиксированных значениях

измерений y . Эта функция в теории оценивания получила название функции правдоподобия, а

метод вычисления, основанный на ее максимизации – метод максимума функции правдоподобия (МФП) [2.1, 2.2, 2.4]. Смысл процедуры максимизации заключается в том, чтобы при фиксированных значениях измерений выбрать такое значение искомого вектора, при котором достигается наибольшее правдоподобие между измеряемыми и вычисляемыми величинами. Часто вместо функции правдоподобия имеют дело с ее логарифмом или логарифмической функцией правдоподобия ln f ( y / x) . Обычно эти функции определяются с точностью до произвольного постоянного множителя.

Итак, максимально правдоподобная оценка (maximum likelihood estimate) отыскивается путем выбора значения x , которое максимизирует f ( y / x) , т.е.

Для обеспечения максимума функции правдоподобия требуется, чтобы соответствующая

Эти уравнения получили наименования уравнений правдоподобия.

Как и в случае МНК, приведенные условия являются лишь необходимыми для обеспечения максимума, и каждое из полученных решений должно проверяться на достаточное условие типа

59

матрицу Q = R−1 . Из сказанного вытекает следующий вывод.

Оценка, соответствующая методу максимума функции правдоподобия в задаче оценивания x по измерениям (2.4.16) при гауссовском характере ошибок измерения,

совпадает с оценкой обобщенного метода наименьших квадратов, если весовая матрица

Q= R−1 .

Взадаче (2.1.20), (2.1.21) с гауссовскими ошибками измерения достаточно просто вычисляется матрица, характеризующая нижнюю границу точности. Действительно, полагая, что функция s(x)

обеспечивает выполнение условий регулярности и принимая во внимание соотношение

Нетрудно заметить, что, если применительно к рассматриваемой задаче считать допустимым линеаризованное описание для (2.1.21), в котором точка линеаризации совпадает с истинным значением оцениваемого вектора, то матрица ковариаций ошибок для оценок, соответствующих МФП, совпадет с I −1(x) .

В частности, можно показать, что в задаче определения координат места по точечным ориентирам вычисляемая согласно (2.2.31) матрица ковариаций для ОМНК будет совпадать с

матрицей, характеризующей нижнюю границу точности, если заменить значение x л на истинное значение x (см. задачу 2.4.1).

Рассмотрим пример получения алгоритма вычисления оценки, максимизирующей функцию правдоподобия, и вычисления нижней границы точности в задаче оценивания скалярной величины

в которых vi , i =1.m - предполагаются независимыми между собой гауссовскими случайными

величинами с одинаковыми дисперсиями r 2 , т.е R = r 2 E .

Алгоритм нахождения оценки в данном случае сведется к минимизации критерия

J мфп (x) = − 21r 2 ∑ ( yi − si (x))2 ,

или решению уравнения (2.4.13), которое в данном случае принимает вид

∑m dsi (x)( yi − si (x)) = 0 . i=1 dx

Используя выражение (2.4.15), запишем

61

Это соотношение оказывается весьма полезным при проведении ориентировочного анализа ожидаемой точности оценивания в нелинейных задачах, в частности, в задаче корреляционноэкстремальной навигации, одномерный вариант которой рассматривался в разделе 2.1. Из (2.4.17) следует, что предельно достижимая точность оценивания координат может быть приближенно определена отношением величины, задающей дисперсию осредненной ошибки измерения используемого геофизического поля, к ожидаемому значению его градиента [2.11].

2.4.5 Решение гауссовской линейной задачи

Алгоритм нахождения оценки, соответствующей максимуму функции правдоподобия, существенно упрощается при рассмотрении линейной задачи (2.1.10), (2.1.11) в предположении, что ошибки измерения v представляют собой центрированный случайный гауссовский вектор с матрицей ковариаций R . Получим эту оценку и проанализируем ее свойства.

В данном случае записанный с точностью до постоянного множителя критерий (2.4.12) примет

Поскольку, как отмечалось выше, для гауссовской задачи оценки, полученные с использованием ОМНК и метода максимума правдоподобия при Q = R−1 , совпадают, выражения

(2.4.19), (2.4.20) идентичны - (2.2.26), (2.2.27).

62