Поскольку x ≡ xˆ( y) + x − xˆ( y), из сказанного следует, что вектор x может быть представлен в

виде суммы двух некоррелированных (ортогональных) случайных векторов [1.1, 1.9]

Причем в качестве одного из этих векторов выступает оценка xˆ( y) = K opt y , представляющая

собой линейное преобразование исходных измерений yi , i =1.m , а в качестве второго - ошибка этой оценки ε = x − xˆ( y) , которая ортогональна этому пространству в том смысле, что

M {ε(Ly)т}= 0 , при произвольной n ×m матрице L . В этой связи оценку, для которой справедливо представление (2.3.21), называют также ортогональной проекцией вектора x на пространство,

образованное yi , i =1.n .

Из сказанного выше следует, что задача нахождения оценки, минимизирующей

среднеквадратический критерий (2.3.1) в классе линейных оценок, эквивалента задаче нахождения линейной оценки, обеспечивающей выполнение условия ортогональности

(2.3.19). В свою очередь это означает, что отыскивается линейная оценка, корреляция которой с измерениями совпадает с корреляцией самого оцениваемого вектора с этими измерениями, а ошибка оценки ортогональна ко всему набору измерений или произвольной их комбинации. Можно также говорить о том, что задача нахождения оценки сводится к нахождению ортогональной проекции вектора оцениваемых параметров на пространство измерений.

Равенство (2.3.19) нередко используется как определение линейной оптимальной оценки, т.е.

задача формулируется так.

Найти линейную оценку xˆ( y) = Ky (ортогональную проекцию вектора оцениваемых

параметров на пространство измерений), ошибка которой ортогональна вектору измерений, т.е. удовлетворяет уравнению (2.3.19).

Заметим, что при наличии информации о первых двух моментах для составного вектора z = (x т , y т )т , представление, аналогичное (2.3.21), может быть легко получено и для вектора y .

Т.е. этот вектор может быть записан в виде суммы двух векторов y = yˆ(x) +ε , один из которых представляет собой оценку y в виде линейного преобразования вектора x (ортогональная проекция y на x ) и некоррелированного с ним вектора ошибок этой оценки (см. задачу 2.3.6).

2.3.5 Задачи к разделу 2.3.

Задача 2.3.1. Запишите выражения для оптимальной в среднеквадратическом смысле линейной оценки и соответствующей ей матрицы ковариаций ошибок, полагая, что решению подлежит линейная задача оценивания (2.1.10), (2.1.11) в условиях, когда вектор оцениваемых параметров x и вектор ошибок измерения v считаются случайными коррелированными между собой

52

векторами с нулевыми математическими ожиданиями и для них задана матрица ковариаций в

Решение.

Принимая во внимание тот факт, что

P xy = M (xy т ) = P x H т + B,

P y = M ( yy т ) = HP x H т + HB + B тH + R,

и используя соотношения (2.3.9), (2.3.11), получим

xˆ( y) = (P x H т + B)(HP x H т + HB + B тH )−1 y,

P = P x − (P x H т + B)(HP x H т + HB + B тH + R)−1 (HP x + B т ) .

Задача 2.3.2. Получение оценки по абсолютно точным измерениям.

Получите выражение для оценки и соответствующей ей матрицы ковариаций, полагая, что решению подлежит задача из предыдущего примера в условиях, когда ошибки измерения отсутствуют, а B = 0 .

Решение.

Запишем выражение для матрицы ковариаций составного вектора z = (xт, y т )т в виде

Используя (2.3.8), (2.3.9), получаем

xˆ( y) = HP x (HP x H т )−1 y, P = P x − P x H т (HP x H т )−1 HP x .

Задача 2.3.3. Получите выражение для оценки и соответствующей ей матрицы ковариаций, полагая, что решению подлежит задача 2.3.1 при B = 0 , а измерения имеют вид

y = Hx + v + u ,

53

оценки в виде xˆ( y) = Ky.

Убедитесь в том, что при выполнении оговоренного условия при вычислении выбранного критерия J достаточно ввести предположение только о случайном характере вектора ошибок измерения v .

Полагая далее, что v - случайный центрированный вектор с известной матрицей ковариаций R , получите выражение для соответствующей матрицы ковариаций ошибок таких оценок.

Решение.

При выполнении условия E − KH = 0 , x − xˆ( y) = x − KH (x + ν) = Kν, и, таким образом, при вычислении математического ожидания необходимо учитывать лишь случайный характер вектора v .

Далее решая задачу с использованием условных множителей Лагранжа, можем получить xˆ( y) = (H тR−1H )−1 H тR−1 y,

P = (H тR −1H )−1 .

Задача 2.3.5. Найдите выражение для оптимальной линейной оценки и соответствующей ей дисперсии скалярной случайной величины x , равномерно распределенной в интервале [0,b] , по измерениям

y i = x + vi , i =1.m ,

в которых vi , i =1.m - независимые между собой и от x случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0, a].

Конкретизируйте их для случая a = b .

Решение.

Применительно к рассматриваемой задаче для оптимальной линейной оценки и соответствующей ей дисперсии нетрудно получить следующие выражения

54

Задача 2.3.6.

Найдите представление m - мерного вектора y в виде сумы двух ортогональных составляющих

y = yˆ(x) + ε = Hx + ε,

вектора y по известным значениям вектора x ).

Получите выражение для матрицы ковариаций вектора ε .

Решение.

Поскольку вектор ε предполагается некоррелированым (отогональным) с вектором y , то

P xy = M {xy т}= M {xx тH т},

P y = M {yy т}= HP x H т + Pε ,

отсюда следует, что

H = P yx (P x )−1 .

Pε = P y − HP x H т .

2.3.6 Вопросы к разделу 2.3.

1.Сформулируйте постановку задачи получения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки.

2.Какие ограничения вводятся при получении линейной оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки?

3.Приведите необходимые и достаточные условия оптимальности при нахождении линейной оценки и выражение для матрицы ковариаций ошибок оценивания.

4.Какое необходимо ввести обязательное предположение о статистических свойствах оцениваемого вектора и ошибок измерения и какие дополнительные требования следует наложить на минимизируемый критерий, чтобы линейная оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка совпала с оценками, соответствующими различным вариантам МНК?

5.Дайте определение ортогональности ошибок линейных оптимальных оценок и поясните смысл этого понятия.

55