2.3. Оптимальные в среднеквадратическом смысле линейные алгоритмы оценивания.

Введя предположение о случайном характере оцениваемого вектора x и ошибок измерения v и задаваясь их статистическими свойствами, представляется логичным не только использовать этот факт при анализе точности того или иного алгоритма, но и попытаться учесть сделанные предположения уже на этапе постановки и решения задачи. Иными словами, попытаться построить алгоритм «хорошего» качества с точки зрения уровня и свойств соответствующих ему ошибок оценивания. Именно такие алгоритмы и будут рассматриваться в последующих разделах.

2.3.1 Постановка задачи получения оптимальных линейных оценок.

Итак, будем полагать, что задача оценивания (2.1.20), (2.1.21) решается в условиях, когда оцениваемый вектор x и ошибки измерения v считаются случайными. Количественная характеристика качества оценивания может быть введена с помощью скалярной функции

− ~

L(x x ( y)) , устанавливающей определенный штраф за отличие оценки от истинного значения

оцениваемого параметра и называемой функцией потерь. Наибольшее распространение при анализе качества оценок в задачах обработки навигационной информации получила

квадратичная функция потерь, имеющая вид

найти такую оценку, которая обеспечит минимум математического ожидания для квадратичной функции потерь, т.е.

Таким образом, сформулированная задача нахождения оценки сводится к минимизации следа матрицы ковариаций ее ошибок или, что то же самое, к минимизации суммы дисперсий ошибок оценивания. Этот критерий получил наименование среднеквадратического критерия, а оценка,

обеспечивающая его минимум – оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой. Такую оценку называют еще оценкой с минимальной дисперсией (minimum variance estimate).

44

Заметим, что критерий (2.3.1) принципиально отличается от наблюдаемых критериев, поскольку цель решения задачи заключается в обеспечении определенных требований к ошибкам оценки искомого вектора, а не к вычисленным значениям измеряемых параметров.

Введем составной случайный вектор z = (xт , y т )т , включающий вектор оцениваемых

параметров и вектор измерений. Из выражения для критерия (2.3.1) следует, что для его

вычисления в общем случае требуется располагать совместной ф.п.р.в. fx,y (x, y) . Обычно при

решении задач обработки навигационной информации статистические свойства задаются для оцениваемого вектора и ошибок измерения, которые в наиболее полном объеме характеризуются

совместной ф.п.р.в. fx,v (x, v) . При наличии fx,v (x, v) плотность fx,y (x, y) в принципе может

быть получена с использованием соотношения (2.1.21) и правил преобразования случайных векторов, рассмотренных в 1.4. Однако, следует заметить, что, во-первых, не всегда имеются

достаточные основания для введения той или иной ф.п.р.в. fx,v (x, v) , а во-вторых, даже при наличии fx,v (x, v) нахождение fx,y (x, y) не является тривиальной задачей.

С целью упрощения задачи будем считать, что имеется информация лишь о первых двух

Нетрудно заметить, что при таком виде оценки выполняется следующее равенство

~ =

M y x ( y) x .

Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещенной. Это весьма важное свойство оценки, более подробно будет обсуждаться в последующих разделах.

Подставляя (2.3.4) в (2.3.2), можем записать

J = M x,y {(x − x + K ( y − y))т (x − x + K ( y − y))}=

{ } (2.3.5)

= M x,y Sp(x − x + K ( y − y))(x − x + K ( y − y))т .

Из этого выражения вытекает, что для вычисления математического ожидания в (2.3.5) теперь уже достаточно знать только z = (x т , y т )т и P z . Введенные ограничения позволяют сформулировать следующую задачу.

Располагая математическим ожиданием и матрицей ковариации для вектора z = (x т , y т )т ,

найти несмещенную оценку вида (2.3.4), обеспечивающую минимум среднеквадратического критерия (2.3.5). Поскольку предполагается линейная зависимость оценки от измерений, то речь

45

таким образом пойдет о линейных несмещенных оценках с минимальной дисперсией или, что то же самое об оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценках.

2.3.2 Решение задачи нахождения оптимальных линейных оценок

Опираясь на результаты, полученные в теории оценивания, можно получить следующий весьма важный результат.

Для того, чтобы линейная оценка (2.3.4) при решении задачи (2.1.20), (2.1.21)

Убедимся в справедливости этого утверждения. Для начала в целях упрощения будем считать, что векторы центрированные, т.е. их математические ожидания нулевые и таким образом вместо

Принимая во внимание, что следы прямой и транспонированной матриц совпадают, это выражение удобно преобразовать как

Поскольку матрица K opt по предположению минимизирует выбранный критерий, то должно выполняться условие

46

J opt =( M x,y {Sp(x − K opt y)(x − K opt y)т}=).

= Sp P x − 2P xy (K opt )т + K opt P y (K opt )т

~

Для произвольной матрицы K , заданной в виде (2.3.7), получим

Поскольку по предположению второе слагаемое обращается в ноль, а третье - в силу

неотрицательности P y неотрицательно, то

приведенное доказательство полностью сохранится и на этот случай, если в качестве оптимальной

Таким образом, алгоритм вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок и соответствующей им матрицы ковариаций при решении задачи оценивания (2.1.20), (2.1.21) задается соотношениями (2.3.10), (2.3.11).

Необходимо обратить внимание на одно весьма важное следствие из доказанного утверждения, имеющее существенное прикладное значение – алгоритм вычисления линейных оптимальных

этих функций, имеющих одинаковые первые два момента, алгоритмы вычисления оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок и соответствующих им матриц ковариаций также будут одинаковыми.

47

2.3.3 Решение линейной задачи

Из предыдущего раздела следует, что для получения линейных оптимальных оценок необходимо располагать математическим ожиданием и матрицей ковариации для вектора

z = (x т , y т )т . Как отмечалось выше, при решении задач обработки навигационной информации считаются известными статистические свойства оцениваемого вектора и ошибок измерения. В

нелинейном случае даже при известном виде совместной ф.п.р.в. fx,v (x, v) возникает проблема

нахождения первых двух моментов вектора z = (x т , y т )т . Эта проблема легко решается для линейной задачи (2.1.10), (2.1.11), если заданы соответствующие характеристики для вектора

(x т , v т )т .

задачу 2.3.1).

В частности, в случае, когда x и v некоррелированы, т.е. B = 0 , соотношения для оптимальной оценки и матрицы ковариаций ее ошибок могут быть представлены как

Интересным представляется сопоставление оптимального в среднеквадратическом смысле

линейного алгоритма с алгоритмами, рассмотренными в предыдущем разделе, т.е. с алгоритмами метода наименьших квадратов и его модификациями. Нетрудно заметить, что при B = 0 выражение (2.3.10) при подстановке в него выражения (2.3.16) и выражение (2.3.15) совпадают с выражениями (2.2.28), (2.2.29), и таким образом полученный алгоритм совпадет с

алгоритмом ММНК, если в его критерии принять D = (P x )−1 , Q = R −1 . Причины такого совпадения обсуждаются в подразделе 2.5.4. Сопоставление между собой различных вариантов

48

МНК было проведено в подразделе 2.2.4. Поскольку при сделанных предположениях линейная оптимальная оценка совпадает с ММНК, полученные в этом разделе выводы относительно взаимосвязи ММНК с ОМКН и МНК в полном объеме распространяются на оптимальные в среднеквадратическом смысле линейные оценки.

В частности, если считать выполненным условие

некорррелированные случайные величины с одинаковыми дисперсиями, то тогда можно говорить о практическом совпадении оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок с оценками обычного МНК.

Важно подчеркнуть, что вывод о совпадении оптимальных в среднеквадратическом смысле линейных оценок с оценками ММНК справедлив лишь при отсутствии корреляции между оцениваемым вектором и ошибками измерений. При появлении такой корреляции оптимальный алгоритм изменяется, в то время как ММНК сохраняется прежним, поскольку в его критерии учет этого фактора не предусмотрен.

Проиллюстрируем сказанное на примере оценивания коэффициентов полинома первой степени по измерениям (2.1.3), считая, что ошибки измерения являются некоррелированными между собой центрированными случайными величинами с одинаковыми дисперсиями, равными r 2 , а

оцениваемые коэффициенты представляют собой центрированные ( x = 0 ), некоррелированные между собой и с ошибками измерений случайные величины с матрицей ковариаций

Используя соотношения (2.3.15), (2.3.16), легко получить следующие выражения для оценок и матрицы ковариаций

49

Рис.2.3.1 Пример реализации ошибок измерений, содержащих линейный тренд.

Критерий МНК, соответствующая ему оценка и матрица ковариаций ее ошибок в этой задаче будут определяться как

В ОМНК при диагональной матрице Q в (2.3.18) появятся сомножители qi , и соответственно выражения для оценки и матрицы ковариаций преобразуются к виду

50

оценки ММНК совпадут с оптимальными оценками.

выполнении которых все рассматриваемые оценки будут между собой совпадать.

2.3.4 Свойство ортогональности оптимальных линейных оценок

Докажем следующее весьма важное свойство линейной оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки xˆ( y) . В целях простоты сделаем это для случая x = 0 .

Для того, чтобы линейная оценка xˆ( y) = Ky была оптимальной, необходимо и достаточно

означающего, что ошибка оценки ε = x − xˆ( y) не коррелирована с вектором измерений y .

Когда два вектора некоррелированы, то, как отмечалось в 1.3.5, говорят также об их ортогональности. В связи с этим сформулированное свойство линейной оптимальной оценки называют также свойством или условием ортогональности [1.9].

Равенства (2.3.19), (2.3.20), (2.3.21) означают тот факт, что ошибка оценки ε = x − xˆ( y)

ортогональна вектору оценки xˆ( y) , вектору измерений y , произвольной линейной

комбинации его компонент и каждой компоненте по отдельности.

51