частоты ( f jдоп ), возникающих за счет взаимного перемещения спутника и потребителя. Используя

эти измерения, можно записать

t ошибка из-за дрейфа часов потребителя; ~i суммарная ошибка доплеровских измерений.

∆& − ε −

Здесь оцениванию подлежит вектор, включающий составляющие скорости потребителя x&1, x&2 , x&3

и ошибку из-за дрейфа его часов.

Наличие в приведенных выражениях составляющих, обусловленных ошибками часов потребителя, определило используемые для измеряемых параметров (2.1.18), (2.1.19) терминыпсевдодальность и псевдоскорость, а также тот факт, что для решения навигационной задачи одновременно требуются измерения не менее, чем от четырех спутников.

2.1.7 Постановка нелинейной задачи оценивания и ее линеаризация.

Все перечисленные выше задачи могут быть сведены к следующей общей постановке

мерный вектор, характеризующий ошибки измерения.

Требуется, располагая измерением (2.1.21), найти в каком-то смысле «хорошую» оценку xˆ( y)

неизвестного вектора x .

Здесь, как и в линейном случае следует выделять задачу синтеза алгоритмов и задачу анализа точности, суть которой заключается в определении свойств ошибок оценивания (2.1.12). Ясно, что такая постановка включает в себя и линейный случай, поскольку, заменив в (2.1.21) s(x) на Hx ,

приходим к задаче (2.1.10), (2.1.11).

При обсуждении далее возможных путей построения алгоритмов оценивания, в принципе будут рассматриваться оба класса задач: линейных и нелинейных. Однако основное внимание, тем не менее, будет уделяться линейным задачам. Объясняется это не только простотой решения таких задач, но и тем фактом, что многие нелинейные задачи в ряде случаев могут, без значительных потерь в точности, быть сведены к линейным постановкам. Осуществляется это на основе

16

При построении алгоритмов оценивания, основанных на линеаризации, в качестве оцениваемого вектора состояния, удобно использовать вектор отклонений в виде

~л

вкотором y(x ) представляет собой измерение, полученное из исходного путем вычитания

известных величин.

Таким образом, исходная нелинейная задача сведена к линейной задаче оценивания δx по измерениям (2.1.26).

Ясно, что линеаризованное описание будет допустимым лишь в ограниченной окрестности точки линеаризации. Точность такого представления ориентировочно можно оценить для скалярного случая величиной

определяющей уровень слагаемых второго порядка в разложении Тэйлора и зависящей, с одной

отклонений действительных неизвестных значений оцениваемого параметра от точки линеаризации, т.е. от разности (x − x л) .

О допустимости линеаризованного описания при решении задач оценивания можно судить, сопоставляя уровень ожидаемых ошибок измерения v с ожидаемыми значениями

δ= d 2 s (x − x л )2 . dx2

Проиллюстрируем сказанное на примере рассмотренной в 2.1.5 задачи определения координат объекта на плоскости по измерениям дальностей до точечных ориентиров по измерениям (2.1.16).

Используя описанную процедуру линеаризации, можем записать

17

ориентиру. Сам этот вектор задает направление градиента для измеряемого навигационного параметра (в данном случае дальности) - направление наибольшего его изменения. Компоненты

Hiт (x л ) соответствуют производным по направлениям вдоль координат ox1 и ox2 .

Суть линеаризации в этом примере заключается в том, что изолинии, представляющие собой как отмечалось выше окружности, заменяются прямыми, которые называются линиями

положения.

Для величины (2.1.27) в этом примере справедливо следующее выражение

Считая для простоты, что одна из координат известна, а направление прямой, соединяющей координаты точечного ориентира с точкой линеаризации, совпадает с направлением известной координаты, для величины δ получим

Отсюда следует, что погрешность линеаризованного представления зависит от отношения уровня возможной ошибки в координате при выборе точки линеаризации к величине дальности до точечного ориентира. Само значение δ при этом следует сравнивать с уровнем ошибки измерения

18

приходим к нелинейной задаче оценивания (2.1.20), (2.1.21), сформулированной в разделе 2.1.7, которая после проведения линеаризации может быть сведена к линейной задаче оценивания x по измерениям

линеаризации сохранено старое обозначение. Эта же задача, в свою очередь, является частным случаем постановки (2.1.10), (2.1.11), в чем нетрудно убедиться, если в качестве H принять матрицу размерности (l + n) × n , т.е.

навигационной системы о координатах объекта с использованием некоторых корректирующих измерений, например, измерений дальностей до точечных ориентиров. В

частном случае, полагая, что x = (x1, x2 )т - двумерный вектор, задающий координаты объекта на плоскости, и имеется всего одно измерение ( l =1) дальности до точечного ориентира, выражения (2.1.33), (2.1.35) можем записать в виде

виде (2.1.11).

В наиболее общем случае задача комплексной обработки в линейной постановке может быть

20

сформулирована следующим образом.

Оценить постоянный n − мерный вектор x , используя набор из m векторных измерений вида

ошибок v в виде

замечаем, что и в этом общем случае задача сводится к обычной постановке (2.1.10), (2.1.11).

Запишите постановку задачи в виде (2.1.11) в случае, когда по измерениям (1) необходимо

Запишите постановку задачи оценивания в виде (2.1.11) в случае, когда по этим измерениям

21

ставится задача найти только x1 , а сумма εi = x2 sin ωti + vi трактуется как ошибка. Сделайте то

же самое, полагая, что оцениванию подлежит x1 и x2 .

Задача 2.1.3. Задача слежения за подвижным объектом (задача траекторного измерения). –

Рис.2.1.7. Пусть на плоскости известны координаты точки x1* , x2* , из которой до подвижного объекта, осуществляющего прямолинейное движение с постоянной скоростью, в дискретные моменты времени могут быть проведены измерения дальностей ρi и пеленгов θi , с ошибками

δρi и δθi , i =1.m . Сформулируйте задачу оценивания составляющих скорости и координат подвижного объекта в начальный момент времени по этим измерениям в форме (2.1.20), (2.1.21), полагая, что имеются:

-а) измерения дальностей;

-б) измерения пеленгов;

-в) измерения и дальностей и пеленгов (задача комплексной обработки).

сформулировать следующую задачу. Оценить x& = 0

по измерениям (2.1.21), в которых

22

yi1 = si1(x) + vi1 = (x10 +V10t − x1i )2 + (x20 +V20t − x2i )2 + vi ,

i =1.m ,

где vi = δρi .

Задача 2.1.4. Сформулируйте задачу слежения за подвижным объектом, полагая, что выполнены условия задачи 2.1.3, а ошибки измерения дальностей и пеленгов имеют, кроме того, подлежащие определению постоянные составляющие.

Задача 2.1.5 Сформулируйте в линеаризованном виде две предыдущие задачи как задачи комплексной обработки измерений дальностей и пеленгов с целью оценивания составляющих скорости и координат подвижного.

2.1.10 Вопросы к разделу 2.1

1.Поясните смысл и приведите соответствующие постановки линейных задач оценивания постоянной скалярной величины, постоянного и квадратичного трендов, одномерных координат и скорости при равномерном движении объекта, а также задачи оценивания коэффициентов полинома.

2.Поясните смысл и приведите математическую постановку задачи оценивания при выставке

ИНС.

3.Поясните смысл и приведите математическую постановку задачи оценивания временного запаздывания реализаций. Проиллюстрируйте ее на примере решения задачи фазовой автоподстройки частоты. Почему эта задача является нелинейной?

4.Поясните смысл и приведите соответствующие математические постановки нелинейных задач оценивания координат на плоскости и в пространстве по измерениям дальностей до точечных ориентиров при наличии и отсутствии постоянных составляющих ошибок измерения. Что такое мешающие параметры?

5.Сформулируйте в общем виде постановку задачи оценивания постоянного вектора по зашумленным измерениям и проиллюстрируйте ее на примерах. Поясните, в чем особенности задач синтеза алгоритмов и анализа их точности.

6.Поясните смысл процедуры линеаризации и сформулируйте соответствующую ей линеаризованную постановку задачи на примере определения координат по точечным ориентирам

ислежения за подвижным объектом по измерениям дальностей на плоскости.

7.Сформулируйте задачу комплексной обработки избыточных измерений и проиллюстрирует ее на примерах.

23