измерения.
Требуется, располагая измерением (2.1.11), найти в каком-то смысле «хорошую» оценку xˆ( y)
неизвестного вектора x . Запись x& = dxdt = 0 означает, что вектор x постоянный, поскольку
решение этого простейшего дифференциального уравнения x = const . Такая запись используется в целях установления преемственности рассматриваемой в этой главе задачи оценивания постоянного вектора с более общими задачами оценивания изменяющегося вектора, поведение которого во времени может быть описано с помощью дифференциальных или разностных уравнений.
При решении сформулированной задачи важным представляется не только сам алгоритм вычисления оценки по имеющимся измерениям, но и умение количественно охарактеризовать
уровень ошибки оценки, определяемой как |
|
ε( y) = x − xˆ( y), |
(2.1.12) |
т.е. количественно оценить точность вырабатываемой предлагаемым алгоритмом оценки. Последнее - особенно актуально при решении задач обработки навигационной информации. Таким образом, в рассматриваемой проблеме можно выделять две важные задачи: задачу синтеза алгоритма, т.е. получения конкретной процедуры вычисления оценок xˆ( y) и задачу анализа точности, суть которой заключается в выявлении свойств ошибок (2.1.12), в частности, определении уровня этих ошибок.
2.1.4 Определение временного запаздывания реализаций.
Рассмотрим далее примеры нелинейных задач оценивания. Пусть задана скалярная в общем случае нелинейная функция s(t) скалярного аргумента и проведены измерения типа
|
|
|
|
|
yi = s(ti + τ) + vi , i = |
1.m |
, |
|
|
|
(2.1.13) |
где vi , i = |
|
- |
ошибки измерения функции в точках ti |
+ τ, значения которых заданы с |
|||||||
1.m |
|||||||||||
точностью до неизвестной постоянной величины τ . Требуется, |
зная функцию s(t) |
и располагая |
|||||||||
значениями yi , ti , |
i = |
|
, оценить значение τ . В случае, |
например, когда |
s(t) является |
||||||
1.m |
|||||||||||
гармоническим колебанием, это выражение конкретизируется как |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
yi = Asin(ωti + ϕ0 ) + vi , i = |
|
, |
(2.1.13) |
|||
|
|
|
|
|
1.m |
||||||
где A - амплитуда, ω = 2πf - круговая частота, ϕ0 - фаза. При известных значениях амплитуды и частоты задача сводится к определению фазы. Отличительная особенность этого выражения заключается в том, что зависимость измерений от оцениваемого параметра – нелинейная. В этой
связи можно говорить о нелинейном характере измерений. |
|
В общем виде в нелинейных задачах оценивания измерения можно записать как |
|
y = s(x) +v , |
(2.1.14) |
11
где |
x , v - n и m - мерные векторы, s(.) = (s (x),..s |
m |
(x))T - |
m - мерная вектор-функция. |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
В |
рассмотренном |
примере представление |
(2.1.14) |
получаем, полагая x = ϕ0 и |
|||
s(.) = (Asin(ωt + x),....Asin(ωt |
m |
+ x))т . Геометрический смысл этой задачи ясен из Рис. 2.1.3. Если |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
требуется определить не только фазу, но и частоту сигнала, то тогда в (2.1.14) следует принять x т = (ϕ0 , ω) , а s(.) = (Asin(x2t1 + x1),....Asin(x2tm + x1))т . В этом случае получаем задачу фазовой автоподстройки частоты, которую нередко приходится решать при построении различных измерительных приборов.
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
неизвестный |
|
|
|
|
|
|
|
|
сдвиг по фазе |
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
0 |
|||||||||
|
Рис. 2.1.3 К задаче определения фазы. |
|
|||||||
Большинство радионавигационных систем также основано на определении временного запаздывания измеренных с ошибками реализаций функции типа (2.1.14) относительно их точно известной копии [2.11]. В частности, возможность нахождения координат в современных спутниковых навигационных системах (СНС) обеспечивается за счет одновременного измерения нескольких задержек, обусловленных конечным временем распространения радиоволн между спутниками и потребителем. Эти задержки, как раз, и измеряются путем сопоставления огибающей, выделяемой из принимаемых от спутников сигналов, с их копиями, формируемыми в приемной аппаратуре потребителя [2.8].
К аналогичной постановке сводится и задача так называемой корреляционно-экстремальной навигации или навигации по геофизическим полям [2.11]. Идея этого метода навигации заключается в уточнении координат подвижного объекта на основе сопоставления реализации измеренных значений некоторого геофизического параметра, например, рельефа местности, с реализацией, вычисленной с использованием заранее снятой карты. В этом случае измерения (2.1.14) будут соответствовать одномерному варианту этой задачи, если временной аргумент заменить на пространственный, а функция s(•) будет соответствовать снимаемому с карты
12
изменению рельефа местности от этой пространственной координаты – Рис. 2.1.4. |
|||||||||
м 100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
измеренные |
|
|
|
|
|
|
|
|
значения |
|
|
|
||
н |
80 |
|
|
|
|
|
|
||
неизвестное |
|
|
|
|
|
|
|||
а |
|
|
|
|
|
|
|
||
ч |
|
смещение |
|
|
|
|
|
|
|
е |
60 |
по координате |
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ьл |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
значения, |
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
0 |
|
|
|
снятые с карты |
|
|
||
|
-20 |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
|
0 |
||||||||
|
|
Пространственная координата в метрах. |
|
|
|||||
Рис. 2.1.4 К одномерной задаче уточнения координат места по рельефу местности. |
|||||||||
2.1.5Определение координат по измерениям дальностей до точечных ориентиров.
Вкачестве примера еще одной нелинейной задачи оценивания можно привести задачу определения координат объекта на плоскости с использованием измерений дальностей до
ориентиров, координаты которых предполагаются известными (рис.2.1.5). В этом случае
x = (x |
, x |
2 |
)т |
, и измерения принимают вид |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi = si (x) + vi = |
(x1 − x1i )2 + (x2 − x2i )2 + vi , i = |
|
, |
(2.1.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.m |
|||||||
где |
x |
|
, x |
|
; xi |
, xi |
, i = |
|
- координаты объекта и ориентиров, соответственно, а |
|
|||||
|
2 |
1.m |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
si (x) = Di (x) = |
(x1 − xi )2 |
+ (x2 − xi )2 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Идея определения местоположения с использованием измерений дальностей достаточно простая. При наличии безошибочного измерения дальности до одного точечного ориентира координаты объекта становятся известными с точностью до его расположения на окружности, радиус которой совпадет с измеренным значением дальности. Линии постоянного значения измеряемых параметров в навигации называются изолиниями положения [2.16]. В данном случае изолинии положения представляют собой окружности. Располагая двумя измеренными без ошибок значениями дальностей, координаты объекта можно получить как одну их двух возможных точек пересечения этих изолиний. Поскольку измерения содержат ошибки, то вместо линий будут формироваться полосы, заключенные между окружностями, равными максимально и минимально возможным значениям дальностей при заданном уровне ошибок измерения. При наличии двух измерений возможные координаты объекта будут с высокой степенью вероятности
13
располагаться внутри фигуры, формируемой в результате пересечения двух полос. При наличии большего количества измерений возникает проблема определения координат с максимальной точностью.
Рис.2.1.5 Определение координат объекта на плоскости с использованием измерений дальности до двух ориентиров с известными координатами.
Если измеритель содержит еще и постоянную составляющую ошибки измерения, то, добавляя ее в вектор оцениваемых параметров, т.е. полагая x = (x1 , x2 , x3 )т , можем записать
yi = si (x) + vi = 
(x1 − x1i )2 + (x2 − x2i )2 + x3 + vi , i =1.m .(2.1.17)
Обратим внимание на то, что цель решения задачи в рассматриваемом примере заключается в нахождении координат объекта x1, x2 , а неизвестная постоянная составляющая ошибки измерения x3 наряду с ошибками vi «мешает» ее достижению. В связи с этим параметры типа x3 нередко называют мешающими параметрами. Процедура включения неизвестных параметров в оцениваемый вектор называется расширением оцениваемого вектора. В англоязычной литературе для этой процедуры используется термин - augmentation.
2.1.6. Определение координат и скорости по спутниковым данным.
Легко обобщить рассмотренную в предыдущем примере задачу на случай определения координат в трехмерном пространстве. Именно такого типа измерения используются при определении координат с помощью упоминавшихся уже СНС. Измерив задержки между
14
принимаемыми и формируемыми в аппаратуре потребителя реализациями и располагая известной скоростью распространения радиоволн, измеренные значения дальностей до спутников можно представить как
ρi = |
(x1 |
− xi |
)2 |
+ (x2 |
− xi |
)2 |
+ (x3 |
− xi |
)2 |
+ c∆t + εi , |
(2.1.18) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
где x1, x2 , x3 − неизвестные координаты потребителя на момент приема сигналов, заданные в прямоугольной геоцентрической системе координат; xij , j =1,2,3 - координаты i -го спутника в той же системе координат, передаваемые потребителю в навигационном сообщении; ∆t − ошибка часов потребителя; εi − суммарная ошибка измерения; c − скорость света [2.8].
Заметим, что орбиты и расположение на них спутников выбираются таким образом, чтобы практически в любой точке земного шара в любое время можно было бы получить измерения не менее чем от четырех спутников. В состав СНС помимо спутников входят наземные контрольные станции, задача которых заключается в уточнении параметров движения (координат и скоростей) спутников (Рис.2.1.6).
Рис. 2.1.6 Определения навигационных параметров по данным СНС.
КСконтрольные станции, определяющие параметры движения спутников
Компонентами оцениваемого вектора x = (x1, x2 , x3 , ∆t)т являются координаты потребителя и ошибка его часов.
Помимо координат с использованием СНС могут быть определены также и составляющие скорости потребителя. С этой целью используются измерения доплеровских смещений несущей
15