алгоритмов основано на использовании различных методов аппроксимации апостериорной плотности, порождающих экономичные процедуры вычисления оценок и соответствующих им матриц ковариаций. С этими весьма важными для решения прикладных задач методами можно ознакомиться, в частности, в работе [2.11].

Задачи к разделу 2.6.

Задача 2.6.1.

С использованием ОМНК получите выражения для оценок и соответствующих им матриц ковариаций в задаче нахождения вектора x по измерениям типа (2.6.5), (2.6.6), записываемым в виде

y1 = x + v1

y2 = Hx + v2 ,

где y2 - вектор размерности l , H - матрица - l × n , v1 и v2 - некоррелированные между собой центрированные векторы с известными матрицами ковариаций R j > 0, j =1,2 . Убедитесь в том,

что полученные оценки совпадают с оценками, соответствующими инвариантной схеме обработки.

Решение.

Вводя расширенный вектор совместных измерений

и используя (2.2.26), (2.2.27), получим следующие выражения для оценок и матрицы ковариаций

xˆомнк = (HтR −1H)−1 HтR −1 y = (R1−1 + H тR2−1H )−1 (R1−1 y1 − H тR2−1 y2 ),(1) Pомнк = (R1−1 + H тR2−1H )−1 .

Эта оценка совпадает с (2.6.7), поскольку

E − (R1−1 + H T R2−1H )−1 H T R2−1H y1 = (R1−1 + H T R2−1H )−1 [(R1−1 + H T R2−1H )− H T R2−1H ]y1 =

= (R1−1 + H T R2−1H )−1 R1−1 y1 .

Отсюда следует, что инвариантный алгоритм обеспечивает нахождение оценки, соответствующей ОМНК. Если ошибки измерения гауссовские, то эта же оценка будет соответствовать оценке МФП.

Задача 2.6.2. Имеются два измерителя, вырабатывающие показания (2.1.33), в которых x = (x1, x2 )т представляет собой двумерный вектор, задающий координаты объекта на плоскости.

Предполагается, что двумерные векторы ошибок измерения являются некоррелированными

107

центрированными случайными векторами с матрицами ковариаций R1 >0 , R2 >0 .

Получите выражение для матрицы ковариаций ошибок оценок, соответствующих ОМНК. Используйте предположение о том, что размеры малой и большой полуосей, соответствующих

этим матрицам эллипсов, одинаковые, т.е. a1 = a2 = a , и b1 =b2 =b и определите, при какой взаимной ориентации этих эллипсов величина радиальной среднеквадратической ошибки, задаваемая соотношением (1.3.24) будет наименьшей (наибольшей).

Решение.

Для матрицы ковариаций будем иметь Pомнк = (R1−1 + R2−1 )−1 . Из геометрических соображений ясно, что минимальное значение радиальной среднеквадратической ошибки достигается в случае, когда большая полуось одного эллипса пересекает под углом 90 градусов малую полуось другого эллипса (рис. 2.6.6). В этом случае

Рис 2.6.6. Минимальная ошибка Рис 2.6.7. Максимальная ошибка

Наименее благоприятная ситуация соответствует одинаковой ориентации эллипсов (рис. 2.6.7),

Если размеры полуосей для каждого эллипса примерно одинаковы, то они превращаются в окружности и их взаимное расположение значения не имеет, а важно лишь, чтобы радиусы этих окружностей были бы соизмеримы, тогда, как и в одномерной задаче, величина радиальной среднеквадратической ошибки уменьшится в 2 раз по отношению к этой величине для каждого из измерителей.

Понятно также, что если размеры полуосей одного эллипса существенно больше размеров

108

точечного ориентира, полагая, что она может быть решена в линеаризованной постановке. Т.е. полагаем, что после линеаризации измерения (2.1.38), (2.1.32) могут быть записаны в виде

которой соответствуют параметры эллипса ошибок a, b, τ, а ошибка v2 - некоррелированая с v

центрированная случайная величина с дисперсией, совпадающей по величине с b2 . Конкретизируйте инвариантный алгоритм получения оценки координат и убедитесь в том, что

этот алгоритм соответствует ОМНК.

Найдите такое значение угла П , при котором величина радиальной среднеквадратической ошибки будет наименьшей.

Решение.

Инвариантный алгоритм, совпадающий с ОМНК, легко получить, используя соотношение (2.6.7), в которое следует подставить матрицы, соответствующие рассматриваемой задаче.

Из геометрических соображений понятно, что для уменьшения DRMS = a2 + b2 в этом

случае необходимо уменьшить неопределенность в знании координат объекта вдоль направления, соответствующего большой полуоси эллипса ошибок. Ясно, что это достигается в случае, когда ориентация единичного вектора совпадает с ориентацией большой полуоси. В результате после совместной обработки данных двух таких измерений получим

а при a >>b эта величина совпадает с выражением (2) в задаче 2.6.2 ,т.е. DRMS = 2b . Задача 2.6.5. Покажите, что при решении задачи оценивания x с помощью метода МФП по

yi ≡ (yi − ym )= hi x − hm x + vi , i =1.m −1 ,

в которых yi , i =1.m могут быть представлены как (2.6.46), ошибки определяются согласно

(2.6.42) и имеют матрицу ковариаций (2.6.43), а оценка и соответствующая ей дисперсия задаются соотношениями (2.6.49), (2.6.50).

Решение.

Принимая во внимание вид матрицы H т = (h1 − hm , h2 − hm ,...hm −1 − hm )т и

110

Эти соотношения легко преобразуются к виду (2.6.49). (2.6.50), если учесть, что суммирование можно увеличить до m - ого слагаемого, а, кроме того,

Принимая во внимание тот факт, что hi = h , i =1.m , получаем

Обращаем внимание на то, что, если при проведении промежуточных выкладок использовать

111