2.5.8.Вопросы к разделу 2.5.

1.Сформулируйте задачу оценивания в рамках байесовского подхода. Поясните, чем отличается оптимальная в среднеквадратическом смысле байесовская оценка от оптимальной линейной и небайесовской оценок. Каково общее правило нахождения оптимальной в среднеквадратическом смысле баейсовской оценки?

2.Перечислите и поясните основные свойства оптимальной среднеквадратическом смысле баейсовской оценки.

3.Что такое потенциально достижимая точность, в чем ее отличие от потенциальной точности?

4.Перечислите основные этапы нахождения апостериорной плотности при решении нелинейных задач оценивания.

5.Перечислите и поясните условия, обеспечивающие гауссовский характер апостериорной плотности.

6.Запишите алгоритм нахождения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки в линейной гауссовской задаче. Поясните, как получить этот алгоритм. Какова связь этого алгоритма с алгоритмом МФП и различными вариантами алгоритмов МНК?

7.Приведите пример задачи, в которой точность оценивания при использовании нелинейных алгоритмов выше точности, достигаемой с помощью линейных алгоритмов. Поясните причины такого отличия.

8.Проанализируйте основные отличите1льные особенности байесовского и небайесовского подходов.

88

2.6 Реализация алгоритмов комплексной обработки избыточных измерений

При решении прикладных задач могут быть использованы различные схемы построения процедур обработки избыточных измерений, реализующие рассмотренные в предыдущих разделах алгоритмы оценивания. Обсудим в этом разделе некоторые из таких схем.

2.6.1 Инвариантная схема обработки

При наличии данных от двух и более измерителей нередко используется так называемая инвариантная схема обработки. Суть ее заключается в формировании разностных измерений, не содержащих искомого вектора, и последующем решении задачи оценивания ошибок одного измерителя на фоне ошибок другого измерителя, результаты которой используются для уточнения показаний одного из измерителей, см. Рис. 2.6.1. Соответствующие алгоритмы получили наименование инвариантных алгоритмов обработки. Иногда говорят об инвариантном характере оценок. В англоязычной литературе для алгоритмов такого типа используется термин complementary filter.

Проиллюстрируем применение этой схемы и проанализируем свойства получающихся при этом оценок на примере рассмотренной в разделе 2.1 задачи комплексной обработки данных от двух измерителей, представленных в виде (2.1.33). При этом будем полагать, что ошибки измерения v1 , v2 − некоррелированные между собой центрированные векторы с известными матрицами ковариаций R j > 0, j =1,2 .

Сформируем разностные измерения

(2.6.1)

из которых исключается отыскиваемый вектор x , и используем их для оценивания ошибок

одного измерителя на фоне ошибок другого измерителя. Для определенности будем считать, что в качестве оцениваемого вектора выступает v1 , а в качестве ошибок измерения - вектор v2 .

Наличие информации о математических ожиданиях и матрицах ковариаций v1 , v2 позволяет получить для v1 оптимальную в среднеквадратическом смысле линейную оценку и

Очевидно, что матрица ковариаций ошибок ε = x − xˆ = v1 − vˆ1 для таких оценок вектора x будет

89

совпадать с матрицей (2.6.3). Сопоставление полученных выражений с выражениями (2.2.42), (2.2.43), соответствующими решению рассматриваемой задачи с помощью ОМНК, показывает их полное совпадение.

Следует заметить, что выражение (2.6.4) может быть легко получено (см. задачу 2.2.8), если решать задачу оценивания x с помощью ОМНК не по исходным измерениям (2.1.33), а по измерениям, сформированным путем преобразования (2.1.33) с использованием блочной матрицы

подразделе 2.6.5, о совпадении оценок, получаемых при использовании различных наборов измерений, связанных между собой невырожденным преобразованием.

Таким образом, инвариантную схему можно трактовать как специальным образом организованную процедуру получения оценок, соответствующих ОМНК. Тот факт, что ошибка получаемой таким образом оценки в соответствии со свойствами оценок ОМНК не зависит от вектора оцениваемых параметров, а зависит лишь от ошибок измерения и объясняет используемый термин – инвариантная схема обработки. Ее особенность заключается в том, что не требуется вводить каких-либо предположений об искомом векторе x при получении алгоритма оценивания.

Если дополнительно предположить, что v1 и v2 гауссовские, то оценка (2.6.2) для ошибки ν1

первого измерения становится оптимальной байесовской оценкой, а оценка (2.6.4) будет совпадать в свою очередь с оценкой, максимизирующей функцию правдоподобия, т.е. оценка, полученная с использованием инвариантного алгоритма, будет соответствовать оценке МФП. В этих условиях можно говорить о том, что инвариантная схема обеспечивает получение оценок, соответствующих МФП, ошибка которой также не зависит от вектора оцениваемых параметров.

Априорная информация об ошибках измерения

Рис. 2.6.1 Инвариантная схема построение алгоритма комплексной обработки

Описанный выше прием может быть использован и при обработке измерений типа (2.1.36), (2.1.37). Полагая, что исходные измерения заданы в виде

90

для получения инвариантного алгоритма в этом случае следует сформировать разностное измерение

∆y = y2 − Hy1 = −Hv1 + v2 .

Далее считая ошибки v1 , v2 − некоррелированными между собой центрированными векторами с известными матрицами ковариаций R j > 0, j =1,2 , нетрудно получить следующее решение байесовской задачи оценивания v1 по измерениям ∆y

vˆ1 = (R1−1 + H тR2−1H )−1 H тR2−1 ( y2 − Hy1 ) ,

Pv1 = (R1−1 + H тR2−1H )−1.

Вычитая полученное значение оценки ошибки первого измерителя vˆ1 из его показаний y1 , для оценки x получаем следующее выражение

(2.6.7)

Нетрудно убедиться (см. задачу 2.6.1) в том, что и в этом случае полученная таким образом оценка и соответствующая ей матрица ковариаций будут соответствовать оценкам ОМНК или МФП, если предположить гауссовский характер ошибок измерений.

Важно подчеркнуть, что для построения инвариантной схемы среди используемых измерений можно было бы выделить хотя бы одно измерение типа y = x + v , обеспечивающее непосредственное измерение искомого вектора x .

2.6.2 Неинвариантная схема обработки

Следует обратить внимание на тот факт, что описанная в 2.6.1 инвариантная схема обеспечивает нахождение оптимальных в среднеквадратическом смысле байесовских оценок по разностным измерениям ∆y лишь для ошибок измерений, а не для искомых параметров. Для получения оптимальной байесовской оценки искомого вектора x требуется вводить предположение о его случайном характере. Поскольку ошибка оптимальной байесовской оценки x − xˆ( y) = (E − KH )(x − x) + Kv зависит не только от ошибок измерения, но и от самого оцениваемого параметра, алгоритм, с помощью которого отыскивается эта оценка, называют иногда неинвариантным алгоритмом. Соответствующая этому алгоритму блок-схема приведена на рис. 2.6.2. Здесь в отличие от предыдущего случая оба измерения равноправно используются в алгоритме, в котором привлекается априорная информация, как об ошибках измерения, так и о самом оцениваемом векторе.

91

Отсюда следует, что дисперсия ошибки измерения высоты в каждый дискретный момент снизится лишь в два раза.

Будем теперь полагать, что высоту на интервале наблюдения можно считать постоянной, и учтем это обстоятельство при получении оценок x . Принимая во внимание факт постоянства

оцениваемой высоты и считая ее неизвестной центрированной случайной величиной с дисперсией

σ02 , можем представить матрицу ковариаций в виде P x = σ02 I , где I - матрица, составленная из единичек. Поскольку в силу вырожденности P x = σ02 I использовать выражение для вычисления матрицы ковариций ошибок оценивания в виде (2.5.27) не представляется возможным, используем для этой целей выражением (2.5.26). Учитывая специфику матрицы H = E , получим

можно показать, что диагональные элементы матрицы ковариций для оцениваемого вектора, собственно и определяющие точность оценивания высоты, будут задаваться соотношением

. (2.6.10)

2mσ02 + r 2

Смысл этого выражения вполне понятен, т.к. при сделанных предположениях в сущности решается задача оценивания постоянной скалярной величины по 2m независимым между собой

предыдущем случае.

Как уже отмечалось, модель в виде константы для высоты представляется идеализированной, но вместе с тем ясно, что введение более сложной модели, например, в виде полинома (см. задачу 2.6.3) или с помощью случайной последовательности обеспечит, в конечном счете, повышение точности по сравнению со случаем, когда никакая априорная информация не учитывается. Это обстоятельство следует иметь в виду при выборе схемы комплексной обработки имеющихся измерений

93