45

1.2.3 Гауссовские случайные векторы и их характеристики

Гауссовским случайным вектором называется такой, для которого ф.п.р.в. определяется в виде

ковариаций, которые, как и в одномерном случае, полностью определяют гауссовскую ф.п.р.в. Из условия согласованности следует, что для отдельных компонент вектора ф.п.р.в. будут

Аналогично можно записать гауссовскую плотность для произвольного набора компонент. Для этого необходимо из вектора математических ожиданий выбрать необходимые компоненты, а из полной матрицы ковариаций сформировать соответствующую им матрицу ковариаций.

Векторы называются совместно гауссовскими, если их совместная плотность распределения гауссовская. Заметим, что возможны ситуации, при которых каждый вектор или с.в. по отдельности -гауссовские, а их совместная плотность таковой не является [1.3].

Если совместно гауссовские векторы x и y не коррелированы и таким образом

M x,y {x − x)( y − y)т} = 0 ,

то они и независимы между собой, т.е.

fx,y (x, y) = fy ( y) fx (x) .

В частности, в этом легко убедиться на примере, когда x и y скаляры, поскольку

Как отмечалось ранее, в общем случае такое утверждение не справедливо. Проанализируем вид двумерной гауссовской ф.п.р.в.

Предположим для начала, что математическое ожидание двумерного вектора равно нулю, а матрица ковариаций диагональная, т.е.

46

В этом случае ф.п.р.в. может быть записана как

Полученные с использованием Matlab (так как это описано в приложении) графики этой функции и соответствующие им изолинии для одинаковых дисперсий по каждой из компонент при σ1 =σ 2 =1 представлены на Рис.1.2.1.

x1

x2

x2

x1

Рис.1.2.1 Вид ф.п.р.в. и соответствующие ей изолинии для центрированного гауссовского вектора с единичной матрицей ковариаций.

Как и в одномерном случае, при уменьшении дисперсий область значений, в которой ф.п.р.в. существенно отличается от нуля, значительно уменьшается. Здесь также можно показать, что

показателю ее экспоненты, представляют собой эллипсы

48

развернуты относительно вертикальной оси на некоторый угол. В качестве примера на Рис.1.2.3 изображены изолинии при r = 0.75 . Обращаем внимание, что здесь, как и в случае,

изображенном на рис. 1.2.1, СКО, соответствующие компонентам x1 и x2 , между собой совпадают ( σ1 = σ2 =1), но поскольку коэффициент корреляции отличен от нуля, изолинии представляют собой эллипсы, а не окружности.

x2

x1

Рис.1.2.3 Изолинии ф.п.р.в. для центрированного гауссовского вектора при σ1 = σ2 =1

иr = 0.75 .

1.2.4Среднеквадратический эллипс ошибок, круговая вероятная ошибка.

Проанализируем более подробно характеристики, используемые для описания свойств двумерных гауссовских векторов. Двумерный случай весьма важен в задачах обработки статистической информации. Так, при решении навигационных задач на плоскости нередко полагают, что координаты объекта представляют собой гауссовский случайный вектор с математическим ожиданием в точке его предполагаемого местонахождения. Для описания неопределенности расположения точки на плоскости используют введенные выше эллипсы равных вероятностей, в частности, эллипс, соответствующий уравнению (1.2.18) при c =1. Поскольку этот эллипс пересекает оси в точках, совпадающих со значениями соответствующих

СКО, т.е., при x2 = 0, x1 = σ1 , а при x1 = 0, x2 = σ2 , он получил наименование

среднеквадратического эллипса ошибок или стандартного эллипса [1.4]. В навигационных приложениях для его описания используют параметры эллипса: большую a и малую b полуоси и дирекционный угол τ , задающий ориентацию большой полуоси относительно оси x2 . Эти три параметра, как отмечается далее в подразделе 1.3.5, полностью определяют матрицу ковариаций двумерной гауссовской плотности. На Рис.1.2.4 изображен частный

49

случай, когда σ2 = b , σ1 = a , τ = 90o , и таким образом

т.е. размеры полуосей эллипса определяют значения СКО по каждой координате.

x2

b

x1

a

Рис.1.2.4.Эллипс ошибок для двумерного гауссовского вектора с независимыми компонентами.

При оценивании точности местоположения подвижных объектов весьма важным представляется умение охарактеризовать неопределенность местоположения одним числом. Для этих целей обычно используют значения, вероятности попадания точки на плоскости в ту или иную заданную область Ω . Для двумерного центрированного гауссовского вектора с ф.п.р.в. (1.2.17) эта вероятность определяется как

Для случая независимых с.в. при σ1 = σ2 = σ , эллипс превращается в окружность радиуса

R = cσ и таким образом из (1.2.21) получаем, что вероятность нахождения случайного вектора в круге с таким радиусом определяется введенным в разделе 1.1.1 распределением Рэлея