42

компоненты, в частности, f xi ,x j (xi , x j ) = fx j ,xi (x j , xi ) .

1.2.2 Статистические характеристики случайных векторов

Вероятность попадания случайного вектора в область Ω, его математическое ожидание x и матрица ковариаций P , которая является обобщением понятия дисперсии на многомерный

Здесь и в дальнейшем интегралы понимаются как многократные, причем если область интегрирования не указана, как уже отмечалось выше, то пределы по каждой компоненте предполагаются от − ∞ до + ∞ .

Из условия согласованности в частности следует, что диагональные элементы матрицы ковариаций

Pii = σi2 = ∫(xi − xi )2 fxi (xi )dxi , i =1.n

определяют дисперсии соответствующих компонент случайного вектора.

Математическое ожидание M xi ,x j {(xi − xi )(x j − x j )} для двух случайных величин xi и x j

называется коэффициентом корреляции. Таким образом, недиагональные элементы

Pij = M xi ,x j {(xi − xi )(x j − x j )} = ∫∫(xi − xi )(x j − x j ) fxi ,x j (xi , x j )dxi dx j , i ≠ j , i, j =1.n ,

определяют коэффициенты корреляции между различными компонентами.

В силу свойства симметричности ф.п.р.в., справедливо равенство Pij = Pji , означающее

симметричность матрицы ковариаций, т.е. P = P т . Важным свойством матрицы ковариаций является тот факт, что она является неотрицательно определенной матрицей, т.е., такой, для

которой при любом x ≠ 0 , xтPx ≥ 0 .

Если математическое ожидание случайного вектора нулевое, то, как и в скалярном случае, такой вектор называется центрированным.

Понятие квантиля для векторного случая может быть в принципе введено, если определена область, для которой вычисляется вероятность. Понятие моды вводится аналогично, а понятие медианы не используется.

Если

43

M xi ,x j {(xi − xi )(x j − x j )}= 0 ,

то случайные величины называются некоррелированными или ортогональными. Отсюда следует, что для случайного вектора, у которого компоненты некоррелированы между собой, матрица ковариаций имеет диагональный вид. Если заданы два случайных вектора, то можно ввести матрицу взаимной корреляции, определяемую как

называются взаимно независимыми, если совместная ф.п.р.в. равна произведению ф.п.р.в. для каждой из этих с.в., т.е.

n

fx (x1...xn ) =∏ fxi (xi ) .

i=1

Аналогично вводится определение и для независимых случайных векторов. Независимые случайные величины являются некоррелированными, поскольку

M xi ,x j {(xi − xi )(x j − x j )}= ∫∫(xi − xi )(x j − x j ) fxi ,x j (xi , x j )dxi dx j =

= ∫(xi − xi ) fxi (xi )dxi ∫(x j − x j ) fx j (x j )dx j = 0 .

Обратное утверждение в общем случае не справедливо.

Приведенные выше понятия, конкретизированные для двумерного вектора x = (x1 , x2 )т ,

представлены в таблице 1.2.1.

Таблица.1.2.1 Основные определения и соотношения для двумерного случайного вектора.

можно с помощью некоторой в общем случае нелинейной функции g(•) сформировать новый

Из этих соотношений следует, что и здесь для нахождения моментов преобразованного случайного вектора необходимо знать ф.п.р.в. f x (x) для исходного вектора и вычислять соответствующие интегралы. Задача упрощается, если функция, с помощью которой осуществляется преобразование является линейным. В этой ситуации достаточно знать только соответствующие моменты для исходного вектора.

Пример 1.2.1. Пусть для двух случайных величин x1 и x 2 заданы математические ожидания x1 , x2 , дисперсии σ12 , σ22 и коэффициент корреляции K . Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, формируемой как y = αx1 + βx2 ,

где α и β известные коэффициенты.

С использованием (1.2.9), (1.2.10) можем записать

My {y}= M x {αx1 + βx2 }= αMx1 + βMx2 = αx1 + βx2 ,

σ2y = M y {( y − y)2 }= M x {(α(x1 − x1 ) + β(x2 − x2 ))2 }= α2σ12 + β2σ22 + 2Kαβ .♦

Полученные в примере соотношения легко обобщить и на векторный случай (см. задачи

1.2.1, 1.2.2).