41
1.2Случайные векторы и методы их описания
Вданном разделе приводятся обобщения основных определений и понятий, связанных со случайной величиной на многомерный векторный случай. Подробно рассматривается двумерный случай и, в частности, для него анализируется вид двумерной гауссовской плотности. Вводится понятие эллипса равных вероятностей. Обсуждается весьма важная для навигационных приложений задача определения вероятности попадания случайного вектора в заданную область. Определяется круг равных вероятностей, круговая вероятная ошибка, среднеквадратический эллипс ошибок, радиальная среднеквадратическая ошибка, сферическая вероятная ошибка, сфера равных вероятностей.
1.2.1 Определение случайного вектора и его описание
Случайным называется вектор, каждая компонента которого является случайной величиной. Для случайного вектора x = (x1 ,...xn )т его свойства в полном объеме задаются
совместной ф.р.в. или совместной ф.п.р.в., определяемыми в виде
Fx
fx
Fx
(x) = Pr(x1 < x1 ,..., xn < xn );
(x) = ∂n F(x) ; ∂x1...∂xn
xn |
x1 |
(x) = ∫ ... ∫ fx (u)du1...dun . |
|
−∞ |
−∞ |
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.2.3)
Выражение (1.2.1) задает вероятность события, при котором для каждой компоненты выполняется неравенство x j < x j , j =1.n.
Совместная ф.п.р.в. также как и в одномерном случае является неотрицательной функцией и удовлетворяет условию нормировки
∞ |
∞ |
|
∫ ... ∫ fx (x)dx1...dxn =1 . |
(1.2.4) |
|
−∞ |
−∞ |
|
Кроме того, совместная ф.п.р.в. удовлетворяет условиям согласованности, которые при m<n записываются как
fx1,x2 ,...,xm (x1, x2 ,..., xm ) = ∫...∫ fx (x1, x2 ,..., xm , xm+1...xn )dxm+1...dxn , (1.2.5)
и является симметричной функцией своих аргументов. Последнее означает, что ф.п.р.в. для вектора x = (x1 ,...xn )т не зависит от того, в какой последовательности расположены его