39
соотношений, справедливых для дискретных случайных величин, в частности, выражения для математического ожидания и дисперсии будут иметь вид
M
M x x = x = ∫xfx (x)dx = ∑μ j x j ,
j=1
σ2 = ∫(x − x)2 fx (x)dx = ∑M μ j (x j )2 − x 2 .
j=1
1.1.5. Задачи к разделу 1.1
Задача 1.1.1. Задана функция плотности распределения вероятности (ф.п.р.в.) случайной величины вида
, (x ≥ 0, k > 0, a > 0) .
Исходя из выполнения условия нормировки для ф.п.р.в., найдите коэффициент a .
Решение.
Запишем условие нормировки
∞
∫ fx (x)dx =1,
−∞
из которого получаем
∞ |
|
∞ |
|
|
|
a |
|
|
∞ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
∫ |
|
−ax |
|
|
−ax |
|
|
||
|
fx (x)dx = |
|
ke |
dx = − |
k |
e |
= |
k |
, |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
−∞ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. k = a .
Задача 1.1.2. Для ф.п.р.в. из задачи 1.1.1 найдите соответствующую ей ф.р.в.
Решение.
x |
x |
x |
|
|
Fx (x) = ∫ |
fx (x)dx = ∫ae−ax dx = − e−ax |
=1 − e−ax . |
||
0 |
||||
−∞ |
0 |
|
|
Задача 1.1.3. Для ф.п.р.в. из задачи 1.1.1 вычислите вероятность попадания случайной
величины в интервал (0, 1a ).
Решение.
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||
Pr 0 |
< x < |
|
|
= F |
|
|
|
=1 − |
|
≈ 0.63 . |
a |
|
e |
||||||||
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|||
Задача 1.1.4 Для ф.п.р.в. из задачи 1.1.1 запишите выражение для нахождения медианы распределения и определите ее.
Решение.
40
x0.5
Fx (x0.5 ) = ∫ fx (x)dxv = 0.5 ,
−∞
отсюда следует, что 1 − e−ax0.5 = 0.5 , и таким образом, медиана x0.5 = 1a ln(2).
1.1.6Вопросы к разделу 1.1
1.Поясните понятия события, вероятности события, вероятностной меры, скалярной случайной величины и функции распределения вероятностей.
2.Дайте определение функции распределения вероятности и функции плотности распределения вероятности для скалярной с.в. Перечислите их основные свойства и связь с вероятностью попадания с.в. в заданный интервал. Приведите примеры.
3.Дайте определение математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения. Поясните смысл этих величин. Что такое стандартное отклонение с.в.?
4.Запишите неравенство Чебышева и поясните его смысл.
5.Поясните, почему дисперсия характеризует разброс значений с.в. относительно ее математического ожидания?
6.Что такое медиана и мода распределения? Приведите примеры ф.п.р.в., для которых эти характеристики совпадают, а также примеры, когда они отличаются. Дайте определение квантиля, поясните смысл этой величины. Какова связь медианы и квантиля?
7.Как изменится математическое ожидание случайной величины, если ее умножить на известное число?
8.Что такое дискретная с.в. Каким образом дискретную с.в. можно представить эквивалентной непрерывной с.в. с заданной ф.п.р.в.
9.Запишите выражения для гауссовской ф.п.р.в, соответствующих значений математического ожидания и дисперсии и поясните как меняется график функции при изменении этих параметров. Дайте определение стандартизованной гауссовской с.в.
10.Поясните смысл таких понятий как предельная ошибка, среднее абсолютное отклонение, вероятное отклонение. Сформулируйте правило трех сигм для гауссовской с.в.