35
вероятное отклонение ε = 0.674 , так что для центрированной с.в. с дисперсией σ2 имеем [1.2, 578c]
ε ≈ 0.674σ . |
(1.1.37) |
1.1.4 Различные типы случайных величин
Помимо гауссовских и равномерно распределенных случайных величин существуют и другие их типы с различными видами соответствующих им функций плотностей распределения вероятностей. В частности, можно привести пример с.в., имеющей распределение Рэлея, задаваемое в виде
x |
u |
|
|
u |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|||
Fx (x) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
exp |
− |
|
|
|
du =1 |
− exp − |
|
|
|
. |
(1.1.38) |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||
0 |
σ |
|
|
|
2σ |
|
|
|
2σ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ф.п.р.в., математическое ожидание и дисперсия для этого распределения определяются как
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
||
f |
x |
(x) = |
|
|
exp |
− |
|
|
|
, |
(1.1.39) |
|
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
σ |
|
|
2σ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∞ |
|
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M x x = x = ∫ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
π/ 2 , |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
σ |
2 |
exp |
2σ |
2 |
|
dx = σ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
4 − π |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
∫(x − x) |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
M x (x − x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
σ |
. |
||||||||||||||||
|
|
σ |
2 |
|
exp − |
2σ |
2 |
dx = |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Примеры функции (1.1.39) при разных σ приведены на Рис.1.1.7. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
fx(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
sigma=0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
sigma=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
sigma=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
|
|
|
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис.1.1.7. Графики ф.п.р.в. Рэлея при разных значениях σ: σ |
= 0.5 , σ |
=1 , σ = 2 . |
||||||||||||||||||||||||
Особенность распределения Рэлея заключается в том, что соответствующая ему ф.п.р.в. в отличие от рассмотренных ранее не является симметричной относительно математического ожидания.
36
Вид наиболее часто используемых в прикладных задачах ф.п.р.в. и соответствующих им соотношений для вычисления математического ожидания и дисперсий приведены в таблице
[1.3, c. 31].
37
Таблица 1.1.3
Виды функций плотности распределения вероятностей и соответствующие им характеристики
|
N |
Наименование |
Плотность распределения |
Математи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ческое |
|
Дисперсия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ожидание |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Бета |
1 |
|
|
|
|
|
(1 − x)b−1 I |
(01) (x) |
|
|
a |
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + b +1)(a + b)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(Beta) |
|
|
B(a, b) |
|
|
a + b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хи – квадрат |
|
|
|
|
|
|
x(ν−2) / 2e−x / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
со степенью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
|
2ν |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
свободы, равной ν |
|
|
|
|
|
|
|
2ν/ 2 Γ(ν/ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(Chisquare) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспоненциальное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e− |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
μ2 |
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(Exponential) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Гаммма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xa−1e b |
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
ab2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
(Gamma) |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
Γ(a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Нормальное |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
− x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5 |
(Normal) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
(2π) |
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Рэлея |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −π |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
f x (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6 |
(Rayleigh) |
|
|
|
|
|
|
|
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ π/ 2 |
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
2σ |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Равномерное |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x [a, b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b + a |
|
|
(a −b)2 |
|||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(Uniform) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
[a, b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 |
x (c, d ) |
, Γ(•) – гамма-функция, |
B(•,•) – бета-функция [1.2]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Примечание. I(c,d ) (x) = |
x (c, d ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В пакете Matlab предусмотрен набор m-функций, обеспечивающих построение различных ф.р.в. и ф.п.р.в. В частности, в таблице 1.1.4 приведено описание m-функций, позволяющих формировать ф.р.в. и ф.п.р.в в соответствии с их английским наименованием, см. таб. 1.1.3.
38
Таблица 1.1.4. Описание m-функций, обеспечивающих вычисление ф.р.в. и ф.п.р.в. в Matlab
Функции |
Вызов и назначение |
|
|
P = cdf('name',X,A1,A2,A3), |
|
|
Y = pdf('name',X,A1,A2,A3) |
|
|
Для заданных аргументов X и возможных параметров A1, A2, и A3 |
|
cdf |
формируются наборы значений ф.р.в. (cdf -cumulative density function) |
|
или ф.п.р.в (pdf -probability density function). |
||
Вид функций определяется выбираемым из списка именем 'name'. |
||
|
||
|
Возможные параметры этих функций определяются в зависимости от |
|
|
вида ф.р.в и ф.п.р.в распределения некоторые параметры могут не |
|
|
задаваться. |
Примечание. В качестве имени следует указывать английское наименование, приведенное в таблице 1.1.3.
Весьма полезной для просмотра различных ф.р.в. и ф.п.р.в. в Matlab является m-функция disttool. С ее помощью вызывается специальное окно, в котором предусмотрена возможность выбора интересующих ф.п.р.в. или ф.р.в. прямо из вызываемого здесь же списка. Все необходимые параметры непосредственно вводятся в этом окне, а результаты представляются в виде графика. В этом окне также имеется возможность перемещения по горизонтали вертикальной линии, при этом снизу указывается значение аргумента, а слева значение функции. С помощью m-функции disttool удобно вычислять квантиль для выбранной ф.п.р.в.
Выше были рассмотрены случайные величины, при введении которых предполагалось, что в качестве множества элементарных событий Ω выступает все множество или некоторое подмножество действительных чисел. Такие случайные величины получили наименование непрерывных с.в. Вместе с тем в качестве Ω может быть выступать конечный или счетный набор чисел. В этом случае говорят о дискретной с.в.
Дискретной случайной величиной называется такая, которая может принимать конечное или счетное число значений.
Для дискретных случайных величин их статистические свойства полностью определяются набором чисел
μ j = Pr{x = x j }, j =1, M ,
каждое из которых задает вероятность μ j принятия случайной величиной значения x j .
Статистические свойства дискретной случайной величины можно адекватно описать с помощью непрерывной случайной величины, ф.п.р.в. которой имеет вид
M |
|
fx (x) = ∑μ j δ(x − x j ), |
(1.1.40) |
j=1
где δ( ) − дельта-функции. С использованием такого представления удается получить ряд