31
1.1.3 Гауссовские случайные величины и их характеристики
Наибольшее применение при решении задач прикладного характера получили гауссовские с.в. Гауссовской или нормальной случайной величиной называется такая, для которой ф.р.в.
и ф.п.р.в. имеют вид
|
1 |
|
|
x |
|
|
(t − x) |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Fx (x) = |
|
|
|
|
|
|
∫ exp − |
|
|
|
|
|
dt , |
(1.1.20) |
||
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
(2π) |
|
σ |
−∞ |
|
|
|
2σ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
(x − x) |
2 |
|
|
|
|
||||||
fx (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
exp − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
(2π) |
σ |
|
|
2σ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Эти функции называют соответственно гауссовским (нормальным) распределением вероятности и гауссовской (нормальной) функцией плотности распределения вероятностей.
В дальнейшем для гауссовской ф.п.р.в. будем использовать следующее обозначение
|
1 |
|
|
(x − x) |
2 |
|
|
|
||
fx (x) = |
|
|
|
|
= N (x; x, σ2 ) . |
|
||||
|
|
|
exp − |
|
|
|
|
(1.1.21) |
||
|
1/ 2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
(2π) |
σ |
|
2σ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вид гауссовских ф.р.в. и ф.п.р.в. и их зависимость от математического ожидания и СКО проиллюстрирован на Рис.1.1.4.
Fx(x)
x
fx(x)
x
Рис.1.1.4 Графики ф.р.в. и ф.п.р.в гауссовской случайной величины при различных значениях математического ожидания ( x = 0, x =1, x = 2 ) и СКО σ =1, σ = 0.5, σ = 0.25 .
32
Из графиков следует, что с уменьшением дисперсии, область в которой ф.п.р.в. существенно отлична от нуля, уменьшается. Можно показать, что
|
1 |
|
(x − x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= δ(x − x) , |
|||
lim |
|
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
σ→0 |
2πσ |
|
2σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где δ(•) - дельта функция.
Нетрудно также заметить, что для гауссовской ф.п.р.в. медиана, математическое ожидание и мода между собой совпадают. Понятно, что такое распределение является унимодальным.
Для гауссовской ф.р.в., соответствующей центрированной с.в., справедливо следующее полезное соотношение
Fx (x) =1 − Fx (−x) .
Нечетные центральные моменты гауссовской случайной величины равны нулю, т.е.
∫(x − x)2k −1 fx (x)dx = 0 ,
а для четных моментов справедливо следующее выражение [1.2] |
|
∫(x − x)2k fx (x)dx =1×3 ×..(2k −1)σ2k , k =1,2... . |
(1.1.22) |
Из этих соотношений, в частности, вытекает, что входящие в (1.1.20), (1.1.21) параметры x
и σ2 представляют собой математическое ожидание и дисперсию гауссовской случайной величины и они полностью определяют ее ф.п.р.в.
Обсудим более подробно числовые характеристики, используемые при описании свойств гауссовских случайных величин. Для их вычисления удобно ввести стандартизованную гауссовскую с.в. u , под которой понимается гауссовская с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е. [1.2,с.574]
fu (u) =
Fu (u) =
N (u;0,1) =
u
π11/ 2 ∫
(2 ) −∞
1 |
|
|
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
exp − |
|
|
|
|
|
1/ 2 |
2 |
||||
(2π) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
exp − t 2 dt .2
(1.1.23)
(1.1.24)
Очевидно, что стандартизованная гауссовская с.в. может быть получена из обычной путем замены
u = |
x − x |
. |
(1.1.25) |
|
|||
|
σ |
|
|
С учетом (1.1.20), (1.1.21) ф.р.в. и ф.п.р.в. для обычной гауссовской случайной величины могут быть записаны в виде
x
Fx (x) = 1 ∫ (2π)1/ 2 σ −∞
exp −
(t − x) |
2 |
|
x − x |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
dt = Fu |
|
, |
(1.1.26) |
|
|
2 |
|
σ |
||||
2σ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
33 |
|
|
|
|
N (x; x, σ2 ) = |
1 |
x − x |
|
|||
|
fu |
|
. |
(1.1.27) |
||
σ |
σ |
|||||
|
|
|
|
|||
Для представления ф.р.в. гауссовской случайной величины нередко используют специальную функцию ошибок, определяемую как [1.2, с.575]
|
2 |
x |
|
|
erf (x) = |
∫exp(−t 2 )dt . |
(1.1.28) |
||
π |
||||
|
0 |
|
||
|
|
|
Обращаем внимание, что для этой функции справедливо следующее соотношение
erf (x) = −erf (−x) . (1.1.29)
График функции ошибок приведен на Рис.1.1.5
erf(x)
0.8
0.6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
-4 |
|
-3 |
|
-2 |
|
-1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.1.5 График функции ошибок.
Нетрудно заметить, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
u |
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
1 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Fu (u) = |
|
|
|
|
|
exp − |
|
|
|
dt = |
|
1 |
+ erf |
|
|
|
|
, |
|
(1.1.30) |
|||||||||||||||||
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2π) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
и таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F |
(x) = |
1 + erf |
x − x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1.31) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
2σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Из выражений (1.1.26), (1.1.30) вытекает, следующее полезное соотношение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Pr[a ≤ x < b]= F |
b − x |
|
|
a − x |
|
1 |
|
|
b − x |
|
|
a − x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− F |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
erf |
|
|
|
|
− erf |
|
|
|
|
|
|
, |
(1.1.32) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
u |
|
|
σ |
|
u |
|
σ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|
σ |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
определяющее вероятность попадания гауссовской с.в. в заданный интервал. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Из представленных выражений c учетом (1.1.7) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Pr[x − kσ ≤ x < x + kσ]= Pr[ |
|
|
|
|
≤ kσ]= erf |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1.33) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В таблице 1.1.2 и на |
|
Рис. |
1.1.6 |
|
|
представлены |
значения |
|
|
|
вероятности |
||||||||||||||||||||||||||
Pr[x − kσ ≤ x < x + kσ]= Pr[x − x ≤ kσ] для гауссовской с.в. при различных значениях k .
34
Табл.1.1.2
Значения вероятности Pr[x − x ≤ kσ] для гауссовского распределения при различных k .
|
|
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pr[ |
|
x − x |
|
≤ kσ] |
0.6827 |
0.9545 |
0.9973 |
0.9999 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fx(x)
x
Рис.1.1.6 Значения вероятности Pr[x − x ≤ kσ] для гауссовской с.в. при
fx (x) = N(x;0,σ2 ) k =1,2,3,4 .
Из таблицы 1.1.2, в частности, следует, что для модуля центрированной гауссовской с.в., т.е. x − x , квантиль порядка 0.6827 равен σ , а вероятность того, что значение центрированной гауссовской с.в. принадлежит интервалу ±3σ , равна 0.997. Обычно величину, равную 3σ ,
называют предельным значением или предельной ошибкой, если с.в. описывает погрешности тех или иных измерений. Тот факт, что для гауссовской случайной величины
Pr[x − x ≤ 3σ]=0.997, (1.1.34)
называют правилом трех сигм.
Для гауссовской случайной величины часто используют следующие количественные характеристики.
Среднее абсолютное отклонение, определяемое как математическое ожидание модуля x − x , т.е. [1.2, 578c]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x { |
x − x |
|
}= σM |
|
u |
|
|
u |
|
= |
2 |
σ ≈ 0.798σ . |
|
(1.1.35) |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Вероятное отклонение (вероятная ошибка) ε , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
которое представляет |
собой |
квантиль |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка |
1 |
для |
|
x − x |
|
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
Pr[ |
|
x − x |
|
≤ ε]=0.5. |
|
|
|
|
(1.1.36) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Иными словами, это такое значение, при котором совпадают вероятности событий |
|
x − x |
|
< ε |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
x − x |
|
> ε, т.е. это медиана для модуля |
|
x − x |
|
. Для |
стандартизованной |
гауссовской с.в. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||