27
обосновывается термин, используемый для с.в. с таким распределением. Заметим, что любая функция, принимающая постоянное положительное значение в заданном интервале может трактоваться как равномерная ф.п.р.в. Для этого достаточно в целях обеспечения условия нормировки умножить такую функцию на нормирующий множитель, равный произведению ее значения на ширину интервала, в котором она отлична от нуля. ♦
1.1.2 Статистические характеристики случайных величин
Помимо ф.р.в. и ф.п.р.в. для описания статистических свойств с.в. используется набор ее числовых характеристик. Основными из них являются: математическое ожидание, моменты,
дисперсия, среднеквадратическое отклонение (СКО). Для среднеквадратического отклонения иногда используют термин стандартное отклонение или стандарт. Если речь идет об ошибке, то используется термин среднеквадратическая ошибка, для которой также справедлива аббревиатура СКО. Что имеется в виду в каждом конкретном случае должно быть ясно из контекста. Заметим, что в англоязычной литературе для среднеквадратической ошибки используют термин - Root Mean Square Error (RMSE). Связь перечисленных характеристик с ф.п.р.в. определяется соотношениями, представленными в таблице 1.1.1.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1.1 |
Основные числовые характеристики случайной величины. |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Характеристика |
|
Определение |
|
Номер |
||
|
|
|
|
|||
Математическое ожидание |
M x x = x = ∫xfx (x)dx |
|
(1.1.13) |
|||
Момент n -ого порядка |
M x xn = ∫xn fx (x)dx |
|
(1.1.14) |
|||
Центральный момент n - |
M x (x − x)n = ∫(x − x)n fx (x)dx |
|
(1.1.15) |
|||
ого порядка |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дисперсия |
D = ∫(x − x)2 fx (x)dx |
|
(1.1.16) |
|||
Среднеквадратическое |
|
|
2 |
1/ 2 |
|
|
|
|
∫(x − x) |
|
|
(1.1.17) |
|
отклонение (СКО) |
σ = |
|
fx (x)dx |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. В приведенных соотношениях пределы интегрирования считаются бесконечными. В дальнейшем также будем полагать, что в случае, когда пределы не указываются, они предполагаются бесконечными.
28
Пример 1.1.2. Получим выражения для некоторых из перечисленных характеристик применительно к с.в., имеющей равномерную ф.п.р.в. Математическое ожидание, второй момент и дисперсия для такой с.в. определяются как
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
b |
|
|
b + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
M x x = x = ∫xfx (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2(b − a) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
x3 |
|
|
b |
|
b2 + ba + a2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
M x x2 = ∫x2 fx (x)dx = |
|
|
|
|
|
|
= |
; |
|||||||||
|
|
|
|
3(b − a) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(a − b)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
M x (x − x)2 = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При a = 0 , |
M x x = x = |
b |
, |
M x x2 = b2 |
, а M x (x − x)2 |
= D = b2 |
, σ = |
b |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||
Если интервалы, в которых ф.п.р.в. отлична от нуля, заданы как [−a, a] , то математическое ожидание с.в. станет нулевым, а второй момент и дисперсия совпадут между собой, т.е.
M x x 2 = D = a32 . ♦
Случайная величина, имеющая нулевое математическое ожидание, называется
центрированной случайной величиной.
Учитывая (1.1.14), (1.1.16), можно получить следующее полезное соотношение для дисперсии с.в.
D = Mx2 − x 2 . |
(1.1.18) |
Дисперсия с.в. характеризует степень концентрации ф.п.р.в. в окрестности математического ожидания. Этот факт находит свое отражение в неравенстве Чебышева П.Л., которое формулируется так.
Для с.в. x с математическим ожиданием x и дисперсией D , при любом ε > 0 , можно записать следующее выражение
Pr( x − x ≥ ε) ≤ εD2 .
Справедливость этого неравенства вытекает из определения дисперсии. Действительно,
∞
D = ∫ (x − x)2 fx (x)dx ≥ ∫ (x − x)2 fx (x)dx ≥ ε2 ∫ fx (x)dx = ε2 Pr( x − x ≥ ε) .
−∞ |
|
x−x |
|
≥ε |
|
x−x |
|
≥ε |
|
|
|
|
Отсюда следует, что при уменьшении дисперсии, уменьшается вероятность того, что случайная величина выйдет за пределы отрезка (x − ε ≤ x ≤ x + ε) .
При решении прикладных задач обработки информации важной характеристикой случайной
|
|
29 |
|
|
величины и соответствующих ф.р.в. и ф.п.р.в. является квантиль. |
|
|||
Квантилем xP порядка |
p с.в. x |
называется такая величина, |
для которой выполняется |
|
соотношение |
|
|
|
|
|
Pr{x < xP }= Fx (x p ) = p , |
|
(1.1.19) |
|
т.е. xP - величина, при |
которой |
обеспечивается |
заданный |
уровень вероятности (см. |
Рис.1.1.2). |
|
|
|
|
|
|
Fx(x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
Pr {x<xp}=Fx(xp)=p |
|
Квантильxp |
||
|
|
a xp |
b |
x |
Рис.1.1.2 К определению квантиля.
Квантиль пятидесятипроцентного уровня вероятности (квантиль порядка x1/ 2 ) называется
медианой распределения. Иными словами медиана это величина, при которой Fx (xP ) =1/ 2 , а
следовательно,
x1 / 2 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
∫ |
fx (x)dx = |
∫ |
fx (x)dx = |
, |
||
2 |
||||||
−∞ |
|
x1 / 2 |
|
|
|
т.е. площади слева и справа от значения медианы, для фигур, образованных ф.п.р.в. и осью абсцисс, равны между собой.
Введем еще одну характеристику, называемую модой. Модой распределения (или с.в.) называется такое значение с.в., при котором ф.п.р.в. имеет локальный максимум. Если ф.п.р.в. имеет один максимум она называется унимодальной.
Из (1.1.1) следует, что равномерная ф.п.р.в. не имеет максимумов, а медиана совпадает с математическим ожиданием.
На рис.1.1.3 изображен пример ф.п.р.в, имеющей две моды. Эта функция задается соотношением
|
1 |
|
1 |
|
(x + 2) |
2 |
|
|
2 |
|
(x −1) |
2 |
|
fx (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
exp − |
|
|
|
+ |
|
exp − |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
(2π)1/ 2 |
0.5 |
|
|||||||
|
(2π)1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и представляет собой среднее арифметическое двух гауссовских плотностей, особенности которых подробно рассматриваются в следующем разделе.
30
fx(x)
0.45 |
Моды |
|
|
0.4 |
|
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
Рис.1.1.3 Пример ф.п.р.в., имеющей две моды.
Предположим, что с помощью некоторой в общем случае нелинейной функции g(•) в
результате преобразования случайной величины x с известной ф.п.р.в. f x (x) сформирована новая с.в. y = g(x) . В принципе логично задаться вопросом - какова будет ф.п.р.в. для новой с.в. y = g(x) ? Ответ на это вопрос будет обсуждаться позднее в подразделе 1.3. Более простой
является задача вычисления математического ожидания и моментов для y = g(x) . Здесь справедливы следующие соотношения [1.3, c.44]
y = M y {y}= M x {g(x)}= ∫g(x) fx (x)dx ,
M y {yn }= M x {g n (x)}= ∫g n (x) fx (x)dx .
Из этих соотношений следует, что для нахождения моментов преобразованной случайной величины необходимо знать ф.п.р.в. f x (x) для исходной с.в. и вычислять соответствующие интегралы. Задача упрощается, если функция, с помощью которой осуществляется преобразование, является линейной. В этом случае достаточно знать только соответствующие
моменты для исходной с.в. |
|
|
Пример 1.1.3. Пусть y = αx + c , где α и c |
известные детерминированные величины, а x - |
|
с.в. с заданным математическим ожиданием |
x и дисперсией σ2x . Найдем математическое |
|
ожидание и дисперсию для y . |
|
|
Используя приведенные выражения, нетрудно записать |
|
|
M y {y}= ∫ (αx + c) fx (x)dx = αM x x + c = αx + c . |
|
|
M y {( y − y)2 }= ∫ α2 (x − x)2 fx (x)dx = α2σ2x . |
♦ |
|