94
Таблица 1.5.1 Гистограммы (hist(z,30)) для реализаций амплитуды и фазы, распределенных по закону
Рэлея и равномерному закону, и их преобразованных значений
1800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
700 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
3 |
3.5 |
4 |
4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гистограмма распределенных по закону Рэлея |
Гистограмма равномерно распредленных |
реализаций амплитуды |
реализаций фазы |
A=random('Rayleigh',1,1,20000) |
fi=random('Uniform',-pi,pi,1,20000) |
2500 |
|
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1500 |
|
|
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 |
0 0.2 0.4 0.6 0.8 |
1 |
-4 |
|||||||||
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Гистограммадля x=sin(fi) |
|
Гистограмма для x1=A.*sin(fi) |
||||||||||
1.5.5 Моделирование случайных величин в Matlab
Для моделирования с.в. в Matlab предусмотрены специальные m-функции, описание которых приведено в табл.1.5.2.
Таблица 1.5.2
|
Датчики случайных чисел Matlab. |
|
Функция |
Вызов и назначение |
|
|
y = random('name',A1,A2,A3,m,n) – возвращает m * n матрицу с.в., с |
|
random |
ф.п.р.в., с именем 'name' из списка, совпадающего со списком, |
|
используемым в pdf и cdf функциях. A1, A2 и A3 - возможные |
||
|
||
|
параметры распределений. По умолчанию m = n=2. |
|
X=rand |
Формирует равномерно распределенную в интервале [0,1] случайную |
|
|
величину |
|
X=rand(n) |
Формирует массив равномерно распределенных в интервале [0,1] |
|
|
случайных величин размера n×n |
|
X=rand(m,n) |
Формирует массив равномерно распределенных в интервале [0,1] |
|
|
случайных величин размера m×n |
|
X=rand(size(A)) |
Формирует массив равномерно распределенных в интервале [0,1] |
|
|
случайных величин, размерность которого совпадает с размерностью |
|
|
матрицы А |
|
s=rand(‘state’) |
Возвращает вектор величин, определяющих текущее состояние |
|
|
генератора случайных чисел. |
|
rand(‘state’,0) |
Устанавливает датчик в его начальное состояние. |
|
rand(‘state’,j) |
Устанавливает датчик в j-ое состояние |
95
Примечание1. Для получения стандартизованных гауссовских с.в. с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией необходимо использовать m-функцию randn, вызов и назначение которой аналогичен функции rand.
Примечание2. Последовательность генерируемых с.в. зависит от начального состояния датчика, которое может быть определено с помощью функции s=rand(‘state’) или randn(‘state’). С помощью m функции rand(‘state’,j) датчик устанавливается в состояние, соответствующее j- ому обращению. При rand(‘state’,0) датчик устанавливается в начальное состояние. Аналогичные установки могут быть выполнены и для функции randn, формирующей гауссовские с.в.
На Рис. 1.5.1 в качестве иллюстрации приведены значения 40 реализаций, полученных с помощью m функции randn.
y
2
1
0
-1
-2
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
i |
|
Рис.1.5.1 Реализация стандартизованных гауссовских с.в., полученных в Matlab с
помощью m функции randn (y=randn(1,40); plot(y))
Для определения выборочных значений математического ожидания, дисперсии и медианы для последовательности с.в. в Matlab могут быть использованы функции, описанные в таблице
1.5.3.
Таблица 1.5.3.
Функции для определения выборочных характеристик [1.10]
Функция
mean(x)
std(x)
median(x)
Назначение Вычисляет выборочное математическое ожидание
(среднеарифметическое значение) элементов массива x с использованием соотношения (1.5.7), где L определяет длину массива x .
Вычисляет выборочное СКО в соответствии с выражением (1.5.6) Вычисляет выборочную медиану для элементов массива x . При вычислении медианы элементы массива располагаются в порядке возрастания. При нечетном L в качестве медианы выступает элемент
xL / 2+1/ 2 при четном - 12 (xL / 2 + xL / 2+1) .
Для примера в таблице 1.5.4 приведены рассчитанные с помощью описанных функций mean(x), std(x) и median(x) выборочные математические ожидания, дисперсии и медианы, полученные для 10, 100, 1000 реализаций стандартизованных гауссовских с.в., сформированные с помощью x=randn(1,n).
96
Таблица 1.5.4. Значения выборочных математического ожидания, дисперсии и медианы для
последовательности моделируемых гауссовских стандартизованных с.в.
Число с.в. |
Математическое ожидание |
Дисперсия |
Медиана |
|
|
|
|
10 |
-0.6762 |
0.976 |
-0.5374 |
|
|
|
|
100 |
-0.0855 |
0.9714 |
0.0114 |
|
|
|
|
1000 |
0.0012 |
0.9915 |
0.0111 |
|
|
|
|
Как и следовало ожидать, приведенные в таблице числовые характеристики в большей степени согласуются с предполагаемыми (нулевое математическое ожидание и единичная дисперсия) при увеличении количества моделируемых с.в.
Проиллюстрируем с помощью гистограмм следующий известный из теории вероятностей факт – ф.п.р.в. суммы независимых между собой одинаково распределенных случайных величин при увеличении числа слагаемых стремится к гауссовскому (нормальному) виду. Иными словами происходит нормализация случайной величины, формируемой в результате суммирования независимых между собой одинаково распределенных с.в.
В таблице 1.5.5 приведены гистограммы с.в., сформированных из равномерно распределенной центрированной в пределах от -b до +b (b=1) с.в., и суммы двух, трех, пяти и десяти независимых между собой распределенных центрированных с.в., распределенных по тому же закону. Каждая из этих с.в. умножена на коэффициент, так, чтобы дисперсия результирующей с.в. была равна 1. В конце таблицы приведена гистограмма стандартизованной с.в. – с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Из таблицы видно, что, уже при количестве слагаемых, равном пяти, гистограмма результирующей с.в. близка к гистограмме стандартизованной гауссовской с.в.
97
Таблица 1.5.5. Нормализация суммы независимых между собой одинаково распределенных величин.
|
Вид с.в. |
|
|
Гистограммы |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
700 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ1 |
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b=1) |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-1.5 |
-1 |
-0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
1.5 |
2 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
1400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ1 +ξ2 |
|
1200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η = |
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b N , (b=1), (N=2) |
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-2 |
-1.5 |
-1 |
-0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
2.5 |
|
|
|
|
-2.5 |
||||||||||
|
|
|
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ζ = ξ1 + ξ2 |
+ ξ3 , (b=1), (N=3) |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
N |
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
-2 |
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ς = ξ1 +ξ2 +ξ3 +ξ4 +ξ5 , (b=1), |
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b N |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(N=5) |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
-5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = |
∑ξi |
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
, (b=1), (N=10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b N |
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
-5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стандартизованная |
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
гауссовская с.в. |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
-5 |
|
|||||||||
98
Выше речь шла о моделировании случайных величин. Рассмотрим примеры моделирования реализаций случайного вектора. В случае, когда компоненты вектора между собой независимы, т.е. матрица ковариаций диагональная, для получения реализации вектора достаточно промоделировать отдельно каждую компоненту в соответствии с заданными свойствами. На Рис. 1.5.2 представлен пример реализаций двумерных центрированных гауссовских векторов, представленных в виде соответствующих точек на плоскости для случая, когда
P |
x |
σ12 |
0 |
|
1 |
0 |
||
|
= |
σ2 |
|
= |
4 |
2 |
. |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Рис. 1.5.2 Пример реализаций двумерных центрированных гауссовских векторов с
независимыми компонентами σ12 = 42 , σ22 =1.
Если матрица ковариаций недиагональная, то необходимо, как это описано в разделе 1.3.5 предварительно найти ортогональную матрицу T , с помощью которой от исходного вектора x с зависимыми компонентами, переходят к вектору ~x с независимыми компонентами. Затем,
|
|
~ j |
, с помощью обратного преобразования можно получить |
||
сформировав реализации вектора x |
|
||||
искомые реализации вектора x |
j |
=Т |
т |
~ j |
. |
|
|
x |
|||
К примеру, если требуется получить реализации двумерного центрированного гауссовского
вектора x с недиагональной матрицей ковариаций ковариаций вида |
P x |
σ2 |
K |
|
, то |
= 1 |
σ2 |
|
|||
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
сначала, используя соотношения (1.3.50), (1.3.51), следует отыскать собственные числа и дирекционный угол для этой матрицы ковариаций. Затем сформировать набор реализаций для
|
|
~ j |
|
|
|
~ |
|
a |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
с матрицей ковариаций P |
x |
= |
|
|
, и используя ортогональную матрицу |
|||||||
вектора x |
|
|
|
|
|
b2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
т |
sin τ |
|
cos τ |
, получить искомый набор x |
j |
=Т |
т |
~ j |
. |
|||||
|
= |
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
− cos |
τ |
sin τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|