89

1.5Моделирование случайных величин и векторов и вычисление их выборочных характеристик.

Вприкладных задачах, связанных со статистическими методами обработки информации, весьма важным является с одной стороны умение получать (моделировать) реализации с.в., распределенных по тому или иному закону, а с другой - умение определять свойства с.в. по их реализациям. Этим вопросам и посвящен настоящий раздел. Здесь обсуждается проблема получения реализаций с.в. и векторов с помощью датчиков случайных чисел, излагаются основные положения метода Монте-Карло (метода статистических испытаний), широко используемого как вычислительная процедура в теории оценивания, рассматривается задача определения с помощью метода Монте-Карло выборочных характеристик при наличии данных

ввиде независимых реализаций с.в. с одинаковой ф.п.р.в, а также правило построения гистограмм. Приводится описание m – функций Matlab, обеспечивающих получение реализаций случайных величин с заданными свойствами и процедуры определения выборочных характеристик и построения гистограмм.

1.5.1.Псевдослучайные последовательности, датчики случайных чисел

Для получения с.в. используются различные алгоритмы, которые, как правило, имеют рекуррентную форму. Так, например, для формирования равномерно распределенных с.в. в соответствии с алгоритмом Д.Лемера, который называется также методом вычетов [1.6], привлекается следующее соотношение

γi+1 = D(gγi ) , i = 0.1.2... , γ0 = l / B ,

где g - большое число, D - функция выделения дробной части, а значения B и l

представляют собой взаимно простые целые числа.

Понятно, что, фиксируя начальные условия, каждый раз будет формироваться одна и та же последовательность. Это и объясняет термин, используемый для таких последовательностей - псевдослучайная последовательность. Компьютерные программы, обеспечивающие формирование псевдослучайных последовательностей, обычно называют датчиками случайных чисел. Эти датчики вырабатывают реализации независимых между собой одинаково распределенных с.в. с заданными ф.п.р.в.

Для получения с.в. с той или иной ф.п.р.в. обычно получают сначала с.в. с достаточно простой ф.п.р.в., например, равномерной, а затем подвергают ее такому преобразованию, которое обеспечивает получение заданной ф.п.р.в. В частности, в подразделе 1.3.1 (пример 1.3.2) было показано, как с.в. с экспоненциальным законом распределения может быть получена из равномерной распределенной с.в. Обычно моделировать приходится гауссовские с.в. Как правило, датчик генерирует стандартизованные гауссовские с.в., т.е. центрированные

90

с.в. с единичной дисперсией. Для получения с.в. с заданной дисперсией выходное значение датчика умножают на величину СКО.

1.5.2 Метод Монте-Карло.

При решении прикладных задач оценивания нередко приходится вычислять многократные интегралы, представляющие собой математическое ожидание некоторых функции g(x) [1.6].

Для этих целей широкое применение получила вычислительная процедура, основанная на

методе Монте-Карло, который нередко называется также методом статистических испытаний. Рассмотрим основные положения этого метода. Итак, предположим, что требуется найти интеграл

91

которое легко получается при замене M x {[g(x) − g]2 в (1.5.3) на его значение, вычисленное согласно методу Монте-Карло.

Из представленных соотношений следует, что точность метода Монте-Карло может быть определена в ходе вычислений, что является одним из очень важных достоинств метода МонетКарло. Количество реализаций L, обеспечивающее необходимую точность, в значительной степени зависит от изменчивости функции g(x) в области, где f x (x) существенно отлична от нуля.

1.5.3 Выборочные статистические характеристики

При проверке свойств с.в. по их реализациям наиболее часто вычисляют так называемые

выборочные математическое ожидание и дисперсию. Очевидно, что для их вычисления удобно использовать метод Монте-Карло. Так, для вычисления выборочного математического ожидания с.в. x может быть использовано выражение

Аналогичная (1.5.5) формула для оценки дисперсии случайной величины с известным

т.е. математическое ожидание для оценки дисперсии совпадает с ее действительным значением. Если математическое ожидание неизвестно, то для обеспечения условия (1.5.8) необходимо использовать следующее соотношение

удовлетворяющей свойствам ф.п.р.в. Тогда можно записать следующее приближенное равенство

Таким образом, если формируемой псевдослучайной величине соответствует гистограмма

Для проверки гипотез о законе распределения с.в. применяют теорему К. Пирсона, которая в сущности устанавливает статистические свойства для гистограммы [1.6, с.31]. На основе теоремы Пирсона вводится так называемый критерий согласия χ2 , который используется при проверке гипотезы о законе распределения той или иной с.в.

Для построения гистограмм в Matlab предусмотрена m функция hist(y,n), позволяющая строить ее для заданного числа интервалов n.

Ниже в качестве иллюстрации в таблице 1.5.1 приведены гистограммы, построенные с использованием 20000 реализаций случайных величин A, ϕ, распределенных по закону Рэлея и равномерно в пределах от [−π, π] и промоделированных с помощью процедуры random. Здесь же приведены гистограммы для случайных величин, полученных путем преобразования исходных величин с помощью соотношений sin ϕ и Asin ϕ .

Из рисунка, представленного в таблице 1.5.1, видно, что гистограмма для реализаций с.в. Asin ϕ соответствует гауссовскому закону распределения, что вполне согласуется с результатами раздела 1.3.2.

Весьма полезной в Matlab является m-функция histtool, аналогичная disttool. С помощью этой функции удобно строить различные гистограммы. Функция histtool вызывает специальное окно со своим меню. В нем предусмотрена возможность выбора интересующих ф.п.р.в. или ф.р.в. прямо из вызываемого здесь же списка ф.п.р.в., для которых моделируется указываемое в меню количество моделируемых с.в. и возможные параметры распределений.