|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
одинаковыми, |
т.е. |
|
r |
2 |
= r 2 , i = |
|
, и, используя |
|
лемму |
об |
обращении |
матриц, запишите |
||||||||
|
1.n |
|||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение для матрицы обратной Pε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица ковариаций и ф.п.р.в. определяются как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Pε = diag{ri2 }+ σd2 I m×m , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f (ε) = N (ε;0, Pε ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где I m×m - n ×n |
квадратная матрица , составленная из единиц. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Используя соотношение (П1.1.26), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
[r 2 E + σd2 I m×m ]−1 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Em − |
|
|
σd |
|
|
I m×m , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
nσd |
+ r |
|
|
|
|||
где Em - n ×n единичная матрица. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 1.3.7. Найдите плотность распределения случайной |
величины y = αx1 + βx2 , |
|||||||||||||||||||
полагая, что |
x1 , |
|
x2 |
являются компонентами |
гауссовского |
вектора |
с математическим |
|||||||||||||
ожиданием x = (x , x |
|
)т |
и матрицей ковариаций P x |
|
|
σ |
2 |
K |
|
, а α, β - известные параметры. |
||||||||||
2 |
= |
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение.
Т.к. вектор x гауссовский, то и случайная величина y , полученная как линейная комбинация компонент этого вектора, тоже будет гауссовской, а ее ф.п.р.в. будет иметь вид
|
|
|
− |
(y−y)2 |
|
|
f ( y) = |
1 |
e |
2σ2y |
, |
||
|
||||||
2πσ2y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
где y и σ2y определяются согласно (1.3.40), (1.3.41), т.е.
y = αx1 + βx2 ,
σy2 =α2 P11x + β2 P22x +2αβK .
1.3.7Вопросы к разделу 1.3
1.Почему решение задачи нахождения ф.п.р.в для с.в. y = g(x) , в условиях, когда функция g(x) имеет обратную, упрощается по сравнению со случаем, когда эта функция неоднозначна?
2.Поясните, как можно получить ф.п.р.в. для с.в., представляющей собой квадрат гауссовской с.в. От каких параметров зависит эта функция и какой она имеет вид?
3.Каким образом можно получить равномерно распределенные случайные величины и
76
с.в., распределенные по закону Рэлея, располагая центрированным двумерным гауссовским вектором?
4.При каких условиях для определения ф.п.р.в. для случайного вектора, представляющего собой сумму двух независимых векторов, достаточно знать только математические ожидания и матрицы ковариаций для этих векторов?
5.При каких условиях для определения ф.п.р.в. для случайного вектора, представляющего собой сумму двух независимых векторов, достаточно знать ф.п.р.в. для каждого вектора в отдельности, как это сделать?
6.Приведите правила вычисления математического ожидания и матрицы ковариаций вектора ~x , связанного с другим вектором x с помощью преобразования ~x =Tx , если для x известны математическое ожидание и матрица ковариаций.
7.Почему случайный вектор с коррелированными компонентами всегда с помощью ортогонального преобразования может быть преобразован в вектор с некоррелированными компонентами? Поясните на двумерном примере геометрический смысл этой задачи.
8.Запишите выражение, устанавливающее связь матрицы ковариаций для двумерного гауссовского вектора с параметрами среднеквадратического эллипса равных вероятностей. Поясните, как это выражение может быть получено.
9.Получите выражение для дисперсии величины, представляющей собой проекцию центрированного случайного вектора с известной матрицей ковариации на произвольное направление, задаваемое единичным вектором.