1.3.5 Ортогонализация случайных величин. Связь матрицы ковариаций и среднеквадратического эллипса

1.3.5 Ортогонализация случайных величин. Связь матрицы ковариаций и среднеквадратического эллипса

1.3.6. Задачи к разделу 1.3

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Glava1-TV.pdf

Скачиваний:

129

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Завершая раздел о преобразованиях случайных величин и векторов, обсудим еще один весьма важный при решении прикладных задач вопрос об ортогонализации случайного вектора. Пусть задана матрица ковариаций P x случайного вектора x . В общем случае эта матрица недиагональная и ее элементы определяют коэффициент корреляции между случайными величинами - компонентами вектора x . Вместе с тем, поскольку матрица ковариаций симметричная, то она всегда с помощью преобразования подобия, задаваемого ортогональной матрицей, может быть приведена к диагональному виду, т.е. [1.8]

TP xT т = Λ = {λ j },	j =			,				(1.3.46)
TP xT т = Λ = {λ j },	j =	1.n		,				(1.3.46)
где
T тT = E , T т = [t	... t		j		...	t	n	],
1			j				n

а λ j , t j , j =1.n - собственные числа и собственные векторы матрицы P x , такие что [1.8]

P xt j = λ j t j ,		(1.3.47)
причем
tiтt j = δij .
Поскольку матрица (1.3.26) является матрицей ковариаций для вектора	~	=Tx , из
	x	=Tx , из

сказанного следует, что всегда случайный вектор x с коррелированными компонентами, (т.е. с недиагональной матрицей ковариаций) с помощью преобразования (1.3.21), в котором T - ортогональная матрица, может быть преобразован к новому вектору с некоррелировнными (ортогональными) компонентами, для которого матрица ковариаций диагональная. Задача нахождения ортогональной матрицы, обеспечивающей выполнение равенства (1.3.46) в теории матриц известна как задача диагонализации матрицы, а в приложении к случайным векторам как задача ортогонализации компонент случайного вектора.

Очевидно что, проведя ортогонализацию гауссовского вектора, имеющего ф.п.р.в. в виде

(x) = N (x; x, P x ) =

exp{− 0.5(x − x)т(P x )−1(x − x)},

(2π)

n / 2

(det P

1/ 2

)

получаем плотность

в результате для вектора x

~ ~

∑

(x j − x j )

(1.3.48)

f x

(x ) =

(2π)n / 2 λ

..λ

exp −

j=1

Поясним геометрический смысл задачи ортогонализации на двумерном примере. Пусть матрице ковариаций случайного двумерного вектора соответствует изображенный на Рис. 1.3.7 эллипс с параметрами a , b , τ .

τ*	b

Рис.1.3.7.Эллипс ошибок для двумерного гауссовского вектора с зависимыми компонентами.

Ясно, что, в системе координат ~ ~ , выбранной так, как это показано на рис. 1.3.6, этому x2Ox1

эллипсу будет соответствовать диагональная матрица ковариаций вида (1.3.46). Переход от

представления вектора в системе координат x2Ox1

к его представлению в системе координат

~ ~

, повернутой относительно оси Ox2 против часовой стрелки на угол

, осуществляется

x2Ox1

с помощью матрицы T , определяемой как [1.2, c. 58]

− sin τ

cos(90 − τ)

− sin(90 − τ)

sin τ

− cos τ

(1.3.49)

T = cos τ

sin τ*

cos τ*

sin(90 − τ)

cos(90 − τ)

cos τ

sin τ

Таким образом, решение задачи ортогонализации сводится к нахождению матрицы преобразования от исходной системы координат к системе координат, направления осей которой совпадают с направлениями главных осей эллипса равных вероятностей.

В навигационных приложениях весьма важными являются соотношения, устанавливающие связь элементов матрицы ковариаций с параметрами соответствующего ей эллипса ошибок.

Можно показать, что собственные числа матрицы ковариаций (1.3.38) λ1 = a2 и λ2 = b2 ,

λ1 ≥ λ2 , представляющие собой квадраты от малой и большой полуосей эллипса, и угол,

определяющий ориентацию этих осей,

задаются следующими соотношения [1.4, с.93]

a2 (b2 ) =

σ2

+ σ2

(σ2

− σ

2 )2 +

4K 2

(1.3.50)

tg2τ =

σ2

− σ2

σ22

− σ12 > 0, K ≥ 0;

τ,

τ =

arctg

τ = τ + π, σ2

− σ1

> 0, K < 0;

(1.3.51)

σ2

− σ1

, σ22

− σ12 < 0.

τ +

Эти соотношения позволяют рассчитать параметры среднеквадартического эллипса для

выражения, с помощью которых могут быть вычислены элементы матрицы ковариаций (1.3.38) по данным о параметрах эллипса ошибок

cos

τ + b

sin

− b

) cos τsin τ

(1.3.52)

P x =T тP x T = a

(a 2 − b2 ) cos

τsin τ

a2 sin 2 τ + b2 cos2 τ

Любопытно отметить, что несмотря на зависимость дисперсии случайной величины, определяющей величину проекции вектора на заданное направление, от этого направления, сумма дисперсий для двух взаимно ортогональных направлений всегда постоянна и не зависит от их ориентации. В частности, σ12 + σ22 = a 2 + b2 . Этот факт есть следствие того, что при ортогональных преобразованиях след матрицы не меняется. Таким образом, введение радиальной ошибки (1.2.24) в качестве количественной меры неопределенности местоположения представляется вполне оправданным.

1.3.6. Задачи к разделу 1.3
Задача 1.3.1.
Пусть для гауссовского вектора	z = (xт , v т )т ,			включающего два подвектора x и v
размерности n и m , задана ф.п.р.в.
fz (z)		x x		x
fz (z)	= N	; , P			B .
		v v	B т		Pv

Получите выражение для совместной ф.п.р.в. для составного

вектора

= (x

, y

)

, в

котором

y = s(x) + v ,

где s(x) - известная в общем случае нелинейная функция.

Решение.

В данном случае в качестве

= g(z)

имеем

≡ ~

≡

s(x)

+ v s(z1 ) + z 2

таким образом, z = h(z) определяется как

z ≡

≡

≡ ~

1 ~

z 2

v y − s(x) z2

− s(z1 )

Принимая во внимание тот факт, что

	~			E	~	0
dh(z )					~
det		= det	−	ds(z1 )		E	=1
	~ т			ds(z1 )
	~ т			~
	dz			~
				dz1

и, используя (1.3.6), можем записать
	~			x x	P	x
~	~	fx,y (x, y) = fx,v (h(x, v)) = N		x x	P
f z	(z ) ≡	fx,y (x, y) = fx,v (h(x, v)) = N		; ,
			y − s(x) v		B т

Bv . P

Задача

1.3.2. Используя

результаты

задачи 1.3.1,

конкретизируйте

вид

совместной

плотности

, y

)

в случае, когда функция

s(x)

- линейная, т.е. когда

для вектора z = (x

s(x) = Hx . Уточните вид этой плотности для случая, когда

x и

центрированные и

независимые между собой.

Решение.

При s(x) = Hx ф.п.р.в. плотность

fx,y (x, y) принимает вид

fx,y (x, y) =

fx,v (h(x, v)) = N

; , P

y − Hx v

B т

Поскольку x и v центрированные и независимые между собой, можно записать

		x 0		x
fx,y (x, y) = N		; , P
	y − Hx 0		0

0v = c exp P

−	1	(x т (P x )−1 x + ( y − Hx)т (Pv )−1 ( y − Hx)) ,
	2

где с – константа, обеспечивающая выполнение условия нормировки. Преобразуем выражение, определяющее показатель экспоненты

x т (P x )−1 x + ( y − Hx)т (Pv )−1 ( y − Hx) =

= x т (P x )−1 x + y т (P v )−1 y − y т (Pv )−1 Hx − x тH т (Pv )−1 y + x тH т (Pv )−1 Hx =

−1

= [x т

y т ](P

)

+ H

)

− H

)

x .

− (Pv )−1 H

(Pv )−1

Используя формулы обращения блочных матриц, получаем

(P x )−1 + H т (Pv )−1 H

H т (Pv )

−1 −1

P x

P x H т

(Pv )−1 H

(Pv )−1

HP x

+ HP x H т

Отсюда следует, что

x 0

fx,y (x, y)

= N

;

y 0 H тP x

+ HP x H т

Тот факт, что при s(x) = Hx плотность для составного вектора будет гауссовской, является также следствием сохранения гауссовского вида плотности при линейных преобразованиях гауссовских векторов. Таким образом, для конкретизации гауссовской плотности достаточно

было найти выражение для математического ожидания и матрицы ковариций составного вектора.

Задача 1.3.3. Убедитесь в том, что для ф.п.р.в. вектора y = x + v справедливо соотношение

fy ( y) = ∫	f v,x (v, y − v)dv ,
которое при независимых x и v принимает вид
fy ( y) = ∫	f v (v) fx ( y − v)dv .

Пояснение. При получении этих соотношений используйте векторы ~ = y = x + v и z v x

v z = x .

Задача 1.3.4 Пусть с.в. y = x + v сформирована в результате суммирования двух независимых между собой с.в. x и v , распределенных по равномерному закону в интервале

[0, b].

Покажите, что ф.п.р.в. для с.в. y является треугольной и определятся в виде

1				y, при y [0, b],
			2	y, при y [0, b],
			2
b
		1				при y [b,2b],
fy ( y) =				(2b − y),
fy ( y) =				(2b − y),
b2
0, при y ≤ 0, y ≥ 2b .


Решение.
Принимая во внимание тот факт, что
				1		[0, b],
f					, x

		(x) =
	x			b
				0, x [0, b],
и используя (1.3.17), можем записать
							1	b
f y ( y) = ∫ f x (x) f v ( y − x)dx =							1	∫ f v ( y − x)dx ,
f y ( y) = ∫ f x (x) f v ( y − x)dx =							b	∫ f v ( y − x)dx ,
								0

(1)

(2)

(3)

где

				1	, x [ y −b, y],
fv ( y − x) =						(4)

		b
		0, x [ y −b, y ].

Ясно, что ф.п.р.в. fy ( y) отлична от нуля лишь для y [0,2b], т.е. при y ≤ 0 и						y ≥ 2b ,
fy ( y) = 0 . Используя (3), (4) получаем, что
fy ( y) =	1		Ω∫		dx ,	(5)
fy ( y) =	b2				dx ,	(5)
	b2

где Ω =[ y − b, y] ∩ [0, b]. Здесь первый интервал следует из (4), а второй из (2).

Нетрудно убедиться, что

	y
	∫dx = y, при y [0, b],
		0	(6)
∫dx =		b	(6)
Ω		∫dx = 2b − y, при y [b,2b].
Ω


	y−b

Подставляя (6) в (5), получаем (1).

Задача 1.3.5 Заданы два центрированных, независимых между собой случайных вектора x и

v размерности n и

матрицами

ковариаций

P x

R , а также

n и m - мерные векторы, определяемые как

xˆ = Ky ,

y = Hx + v ,

где K и H - известные матрицы соответствующей размерности.

Для составного вектора

, v

, y

ˆ т

найдите матрицу преобразования T , такую что

, x)

X =Tz , где z = (x т, v т )т , а также матрицу ковариаций для вектора X =Tz .

Решение.

Матрица преобразования будет иметь вид

T =

и таким образом

P x

P x H т

P x H т K

RK т

KP y

KP y K т

KHP x

где P y = HP x H т + R .

Задача 1.3.6. Пусть компоненты n - мерного случайного вектора ε, определяются как

εi = vi + d ,

где vi центрированные, некоррелированные между собой случайные величины, дисперсии


которых равны r 2 , i =				, d - центрированная случайная величина, некоррелированная с	v		,
			1.n			i
		i
i =		, с дисперсией σd2 .
	1.n
Запишите выражение для матрицы ковариаций Pε вектора ε. Дополнительно полагая,					что
все величины гауссовские, запишите выражение для ф.п.р.в. Считая дисперсии для всех					vi

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2114 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.04.201550.52 Кб16Finansy_kursach_2.docx
#
14.03.201649.74 Кб22Fizika laba.docx
#
02.04.2015154.62 Кб5FLOID.doc
#
14.03.2016595.46 Кб17Fotometr_Metodicheskie_ukazania_k_vypolneniyu_laboratornykh_rabot.doc
#
02.04.2015291.33 Кб30Fuck Them ALL.doc
#
02.04.20151.29 Mб129Glava1-TV.pdf
#
02.04.20154.03 Mб20GrushoCrypto.pdf
#
02.04.201529.25 Кб25GUAP (1).docx
#
02.04.201554.79 Кб118GUAP_Laboratornaya_rabota_14.docx
#
14.03.20165.6 Mб27haritonov.pdf
#
02.04.2015634.37 Кб12HTML.doc

заданной матрицы ковариаций.

и используя (1.3.21), (1.3.23), (1.3.49), можем также получить

Полагая P x