63

ф.п.р.в. сохраняется. Весьма существенно при этом, что гауссовской должна быть совместная ф.п.р.в. преобразуемых векторов. В частности, если совместная плотность, стоящая под знаком интеграла (1.3.16) не является гауссовской, то в общем случае плотность для суммы y = x + v

не будет гауссовской. Примеры, иллюстрирующие этот факт, приводятся в частности в [1.3]. Если преобразуемые векторы независимы, то достаточно, чтобы гауссовскими были плотности каждого из слагаемых, см. задачу 1.4.2.

1.3.3 Линейные преобразования случайных векторов.

Обсудим более подробно линейные преобразования случайных векторов. С этой целью рассмотрим достаточно простую, но весьма важную с практической точки зрения задачу.

Пусть задан m -мерный вектор ~x , который получен в результате линейного преобразования n -мерного вектора x , т.е.

и требуется найти его математическое ожидание и матрицу ковариаций.

Решение этой задачи легко получить, если воспользоваться соотношениями (1.2.9), (1.2.10).

Отсюда следует, что для нахождения математического ожидания и матрицы ковариаций вектора ~x , формируемого в результате линейного преобразования (1.3.21), не

требуется знания ф.п.р.в. для исходного вектора x , а достаточно располагать для него лишь значениями математического ожидания и матрицы ковариаций.

64

где B = M x,v {(x − x)(v − v)т}- n ×m матрица, характеризующая взаимную корреляцию двух

векторов.

Требуется найти математическое ожидание и матрицу ковариаций вектора

Конкретизируем эту задачу, полагая, что компоненты x - представляют собой координаты точки на плоскости и требуется найти статистические характеристики с.в. ρ, определяющей

x2

x

τ ρ x eτ

x1 x1

Рис. 1.3.4 Определение проекции вектора x = (x1 , x2 )т на единичное направление,

задаваемое вектором eτ = (sin τ, cos τ)т .

Поскольку величина, определяющая с учетом знака длину проекции, может быть представлена в виде

учетом знака длину проекции, на произвольное направление также будет представлять собой центрированную случайную величину с дисперсией, задаваемой соотношением (1.3.45).

Обращаем внимание, что дисперсия (1.3.45) может быть представлена в виде квадратичной формы

Dρ (τ) = (sin τ cos τ)P x sin ττ .cos

При изменении направления τ единичного вектора (1.3.42) очевидно, что меняется и величина дисперсии.

Интересной представляется задача нахождения таких значений углов, при которых дисперсия принимает минимальное и максимальное значения. Фактически это есть известная задача нахождения минимального и максимального значений квадратичной формы на единичной окружности [1.8]. Ее решение определяют собственные числа матрицы ковариаций

67

(1.3.38), характеризующие максимальное λ1 и минимальное λ2 , λ1 ≥ λ2 значения дисперсии,

и соответствующие им собственные векторы. Если изначально матрица ковариаций диагональная, то направления, соответствующие наибольшему и наименьшему значениям дисперсий, совпадают с направлениями координатных осей, при этом λ1 = a 2 , λ2 = b2 .

Из сказанного выше также следует, что, если вектор x = (x1, x2 )т , задающий ошибку местоположения на плоскости, гауссовский, то величина, определяющая с учетом знака длину его проекции на заданное направление, также будет иметь гауссовскую ф.п.р.в. с математическим ожиданием (1.3.44) и дисперсией (1.3.45). Знание ф.п.р.в. для этой величины позволяет в полном объеме описать свойства ошибки вдоль заданного направления, что весьма важно при решении ряда задач обработки навигационной информации.

Рассмотрим иллюстрирующий пример.

Пример 1.3.7. Пусть компоненты двумерного центрированного гауссовского вектора

Требуется найти ф.п.р.в. и ее параметры для с.в., определяющей длину проекции в направлении прямой, расположенной под углом 30 градусов относительно оси x2 .

Ф.п.р.в. и соответствующий ей эллипс для двумерного вектора в рассматриваемом случае имеет вид, изображенный на Рис. 1.3.5.

68

x2

x1

Рис.1.3.5. График ф.п.р.в. двумерного гауссовского вектора и соответствующего ей эллипса.

Используя (1.3.45), при τ = 60°, σ12 =1 , σ22 = 4 , K =1 найдем значение дисперсии, которое будет равно Dρ (τ) = 2.62 . С учетом вышесказанного можем сделать вывод о том, что ошибка в направлении τ = 60° представляет собой гауссовскую ф.п.р.в. fρ(ρ) = N (ρ;0, 2.62) . Вид этой

плотности изображен на рис. 1.3.6.

fρ(ρ)

ρ

Рис. 1.3.6. График ф.п.р.в. для ρ при τ = 60°, Dρ (τ) = 2.62 . ♦