1.3.2Функции случайных векторов

Применяя описанное выше правило нахождения ф.п.р.в. для функции от случайных величин

можно получить следующее выражение для совместной плотности распределения амплитуды и фазы [1.5]

| ϕ|≤ π .

Интегрируя (1.3.11) по ϕ или A , нетрудно найти плотности распределения отдельно для

амплитуды получаем плотность распределения Рэлея, а для фазы - равномерную плотность в пределах от − π до + π, т. е.

Обратное преобразование от полярных координат к декартовым осуществляется с помощью (1.3.10). Таким образом, получаем, что в условиях, когда совместное распределение случайных величин A и ϕ имеет вид (1.3.11), случайный вектор, компоненты которого получены с использованием (1.3.10), будет гауссовским с плотностью распределения, задаваемой соотношением (1.3.7). В частности, когда амплитуда A, имеющая плотность распределения Рэлея, и равномерно распределенная фаза независимы между собой, случайные величины x1 = A cos ϕ и x2 = A sin ϕ будут центрированными независимыми случайными величинами с одинаковыми дисперсиями. Данный результат представляется примечательным, поскольку гауссовские величины x1 , x2 формируются на основе нелинейного преобразования случайных

61

величин, имеющих достаточно специфические распределения. ♦

Обратим внимание на то, что размерности векторов x и y в соотношении (1.3.6)

предполагались одинаковыми. Вместе с тем, часто возникает необходимость отыскания ф.п.р.в. случайного вектора y , связанного функциональной зависимостью с другими векторами,

размерности которых не совпадают с размерностью y . Например, нередко известна совместная

Теперь для нахождения искомой ф.п.р.в. y = s(x) + v достаточно проинтегрировать стоящее справа выражение по аргументу x , т.е.

62

Если векторы x и v независимы, то это выражение конкретизируется к виду fy ( y) = ∫ f v ( y − s(x)) fx (x)dx .♦

В частном случае, когда y = x + v , используя (1.3.16), получаем выражения для плотности

Определение ф.п.р.в. для суммы двух независимых векторов по известным плотностям для слагаемых называется композицией ф.п.р.в. [1.7, с.47]. Из (1.3.18), (1.3.20) следует, что композиция представляет собой интеграл свертки.

Сиспользованием (1.3.16) или (1.3.18) можно в частности показать, что сумма двух независимых с.в., имеющих одинаковое - равномерное распределение будет представлять собой с.в. с ф.п.р.в. треугольного вида (см. задачу 1.3.4), а при увеличении числа слагаемых это распределение будет стремиться к гауссовскому. В этом случае говорят, что происходит нормализации ф.п.р.в. Более общий результат, связанный с нормализацией ф.п.р.в. формулируется в виде центральной предельной теоремы. Суть этой теоремы заключается в том, что при формировании случайной величины в результате суммирования независимых между собой центрированных с.в. с одинаковой дисперсией, доказывается, что при увеличении числа слагаемых ф.п.р.в. такой с.в. стремится к гауссовской ф.п.р.в. [1.5]. Этот весьма важный с практической точки зрения результат, поскольку он служит некоторым обоснованием часто используемого предположения о гауссовском характере тех или иных величин. Действительно, если некоторая величина, например ошибка измерителя, формируется в результате суммирования ошибок, обусловленных различными независимыми между собой факторами, то такую с.в. можно с определенной долей приближения считать гауссовской с.в.

Сучетом приведенных выше соотношений можно также убедиться в том, что сумма совместно гауссовских векторов является гауссовским вектором. Более общий результат формулируется так: при линейных преобразованиях гауссовских векторов гауссовский вид