54
1.3Преобразование случайных величин и векторов
Впредыдущих разделах рассматривалась задача нахождения моментов для случайной величины и случайного вектора, полученных в результате преобразования некоторой исходной с.в. или случайного вектора с заданной ф.п.р.в. В настоящем подразделе обсуждается более сложная задача определения самой ф.п.р.в. для случайных величин и векторов, формируемых в результате их линейных и нелинейных преобразований. Приводится пример получения ф.п.р.в. для квадрата от с.в., который конкретизируется при условии, что исходная величина гауссовская. Решается задача определения ф.п.р.в. для вектора, определяющего координаты точки на плоскости, заданной в полярной системе координат, при условии, что ф.п.р.в. для этого вектора в декартовых координатах - гауссовская. Обсуждается задача нахождения ф.п.р.в. суммы случайных величин. Подробно исследуется случай линейных преобразований случайных векторов. Выводятся соотношения, позволяющие вычислять математические ожидания и матрицу ковариаций для векторов, связанных между собой линейными преобразованиями. Рассматривается задача ортогонализации - преобразования коррелированных векторов к вектору с некоррелированными компонентами. Приводятся соотношения, устанавливающие связь элементов матрицы ковариаций и параметров среднеквадратического эллипса ошибок. Рассматривается важная для навигационных приложений задача определения статистических характеристик проекции двумерного вектора на некоторое произвольное направление.
1.3.1 Функции случайных величин
Итак, предположим, что с.в. y = g(x) получена в результате преобразования случайной величины x с известной ф.п.р.в. f x (x) .
Требуется найти ф.п.р.в. fy ( y) , характеризующую свойства с.в. y . Для решения этой задачи сначала будем полагать, что g(x) монотонная функция и таким образом существует взаимно однозначное соответствие между x и y во всей области их возможных значений. Это означает, что существует обратная функция x = h(y) такая, что x = h(y) = h(g(x)) . В этом случае очевидна справедливость следующих равенств (см. также Рис.1.3.1):
Pr(x < x1 )= Pr(y < y1 ) - для возрастающей функции, т.е. при dydx > 0 , Pr(x < x1 )= Pr(y > y1 ) - для убывающей функции, т.е. при dydx < 0 .
|
|
55 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y1 |
y=g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y=g(x) |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x1 |
|
|
Рис.1.3.1 К определению вероятности для возрастающей и убывающей функций |
||||
Отсюда, в частности, вытекает, что при dy > 0 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
Pr(x1 ≤ x < x1 + dx) = Pr( y1 ≤ y < y1 + dy) , |
|
(1.3.1) |
|
т.е. вероятность для y |
попасть в область |
dy совпадает с вероятностью для |
x попасть в |
|
область dx (см. Рис.1.13). |
|
|
|
|
|
dy |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
y=g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
x |
|
|
Рис.1.3.2 Области dy и dx , вероятности попадания в которые для с.в y |
и x совпадают. |
|||
Поскольку |
|
|
|
|
|
Pr(x1 ≤ x < x1 + dx) ≈ f x (x)dx , |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
Pr( y1 ≤ y < y1 + dy) ≈ fy ( y)dy , |
|
|
|
56
то для обеспечения (1.3.1) необходимо, чтобы в пределе
fy ( y) = fx (x) |
dx |
, |
|
|||
dy |
||||||
|
|
|
|
|
||
т.е. |
|
|
|
|
|
|
fy ( y) = |
fx (h( y)) |
dh( y) |
. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
dy |
||
Для убывающей функции знак у производной надо изменить на противоположный, так что в общем случае получаем
fy ( y) = fx (h( y)) |
dh( y) |
|
. |
|
dy |
||||
|
|
|||
Если функция x = h(y) = h(g(x)) многозначна, то, разбивая область значений на участки, для которых она однозначна и проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что в этой ситуации справедливо следующее соотношение
K |
dhk ( y) |
|
|
|
fy ( y) = ∑ fx (hk ( y)) |
|
, |
(1.3.2) |
|
dy |
||||
k =1 |
|
|
где y = hk (x) - вид функции на участках однозначности k =1.K .
Рассмотрим иллюстрирующий пример.
Пример 1.3.1. Пусть задана ф.п.р.в. для с.в. x . Необходимо найти ф.п.р.в. квадрата от этой величины, т.е. y = x2 [1.5].
Здесь каждому значению y , которое всегда положительно, соответствуют два значения.
x1 = y , и x2 = − y . |
(1.3.3) |
Понятно, что, если y1 ≤ y < y1 + dy , то этому событию |
соответствуют два взаимно |
несовместных события x1 ≤ x < x1 + dx или x2 − dx ≤ x < x2 . Отсюда следует, что
Pr(y1 ≤ y < y1 + dy)= Pr(x1 ≤ x < x1 + dx1 )+ Pr(x2 − dx2 ≤ x < x2 ),
или
f x (x1 )dx1 + f x (x2 ) dx2 ≈ f y ( y)dy ,
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x |
(x |
) |
dx1 |
+ |
f |
x |
(x |
|
) |
|
dx2 |
|
|
≈ f |
y |
( y) . |
||
|
|
|
|
||||||||||||||||
dy |
|
dy |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
Принимая во внимание (1.3.3.), для y > 0 , запишем |
|
|
|
||||||||||||||||
f y |
( y) = |
1 |
f x ( y ) + |
1 |
|
f x (− y ) . |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
|||||||
Таким образом, для искомой ф.п.р.в. получаем
57
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(fx ( y ) + fx (− y )), y ≥ 0, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
fy ( y) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
y < 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Предположим, например, что с.в. x является гауссовской, т.е. |
f x (x) = N (x;0, σ2 ) . В этом |
|||||||||||||||||||
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( y ) |
2 |
|
(− y ) |
2 |
|
1 |
|
|
y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
fy ( y) = |
|
|
exp − |
|
|
|
|
|
+ exp − |
|
|
= |
|
|
exp |
− |
|
, y ≥ 0 . |
||
2σ |
|
|
2σ2 |
|
2σ2 |
|
|
2πy |
|
|||||||||||
|
2πy |
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
2σ2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда следует, что ф.п.р.в. для квадрата гауссовской с.в. имеет вид
fy ( y) = |
|
1 |
|
σ |
2πy |
||
|
Графики этой ф.п.р.в. при разных значениях
|
y |
|
|
|
exp− |
|
|
, y ≥ 0 . |
|
2σ |
2 |
|||
|
|
σ приведены на рисунке 1.3.3.
fx(x)
x
Рис. 1.3.3 График ф.п.р.в. для y = x2 при гауссовском характере ф.п.р.в. для x . ♦
Из представленного материала следует, что, подвергая некоторую исходную с.в. с заданной плотностью распределения тем или иным преобразованиям, удается получать с.в. с различными ф.п.р.в. В частности, можно показать, что для получения с.в. с обратимой ф.р.в. Fy ( y)
достаточно, располагая с.в. x , равномерно распределенной на интервале [0,1], подвергнуть ее преобразованию вида [1.6]
y = Fy−1 (x).
Действительно, пусть скалярная с.в. x распределена равномерно в интервале [a,b] и задана некоторая ф.п.р.в.