50

случайного вектора в круг заданного радиуса, т.е., когда вероятность попадания равна 0.5 ,

называется круговой вероятной ошибкой (КВО), а круг - соответственно кругом равных вероятностей. В англоязычной литературе для круговой вероятной ошибки используется термин - circular error probable (CEP). В случае, когда эллипс представляет собой окружность, т.е. при независимых с.в. и равных СКО σ1 =σ 2 =σ , пятидесятипроцентное попадание в круг (Pr=0.5) достигается при его радиусе, равном R =1.177σ. Для R = 3.4σ , P=0.997. В случае, если это не так, радиус круга, при котором достигается вероятность попадания в него, равная 0.5, следует отыскивать с помощью соотношения (1.2.20).

Иногда используют понятие радиальной среднеквадратической ошибки (в англоязычной литературе для нее используется термин - Distance Root Mean Square -DRMS), под которой

Взависимости от значений матрицы ковариаций или параметров эллипса этой величине соответствует 65-68% попадания в круг такого радиуса. Нередко используют удвоенную радиальную среднеквадратическую ошибку (2DRMS). Ей соответствует вероятность попадания

вкруг радиуса, равного удвоенной радиальной ошибке. Точное значение вероятности зависит от конкретных соотношений дисперсий и коэффициента корреляции, а примерная ее величина определяется как Pr=0.95.

Понятия, аналогичные приведенным выше, используются и для трехмерного гауссовского вектора. При этом вводится величина сферической вероятной ошибки (СВО), и сферы равных вероятностей. В англоязычной литературе им соответствуют термины spherical error probable (SEP) и sphere of equal probability (SEP). Трехмерное гауссовское распределение широко используется при описании ошибок местоположения подвижных объектов в пространстве, в частности, для летательных аппаратов.

Взаключение раздела отметим, что определять вероятность нахождения двумерного гауссовского случайного вектора в круге радиуса R = cσ для случая независимых компонент

при σ1 = σ2 = σ удобно с использованием m-функции Matlab - disttool. Для этого достаточно вызвать disttool, в меню появившегося окна задать режим, соответствующий ф.п.р. (cdf), и выбрать английское название закона Рэлея (Rayleigh). Затем набрать значение b , (соответствующее σ) равное единице, а для значения аргумента набрать величину, равную с . Слева будет получено искомое значение вероятности.

1.2.5. Задачи к разделу 1.2

Задача 1.2.1. Убедитесь в том, что функция взятия математического ожидания является линейной, т.е. для нее справедливо свойство суперпозиции.

51

Напомним, что линейной функцией z = Ψ(x) называется такая, для которой выполняется

свойство суперпозиции, т.е. z = Ψ(αx1 +βx2 ) = αΨ(x1 ) +βΨ(x2 ) , где α и β известные коэффициенты, а x1 , x2 - различные значения аргументов.

Решение.

Пусть в общем случае векторный аргумент для математического ожидания определен как

Решение.

Поскольку y = αx1 + βx2 , то для матрицы ковариаций с использованием (1.2.10) нетрудно записать

Py = M y {( y − y)( y − y)т}= M x {(α(x1 − x1 ) + β(x2 − x2 ))(α(x1 − x1 ) + β(x2 − x2 ))т}=

= α2 P1 + β2 P2 + αβ(K + K т ) .

Задача 1.2.3. Пусть вектор y связан с x и v соотношением вида y = s(x) + v ,

Предполагается, что x и v независимы, известна ф.п.р.в. f x (x) , математическое ожидание v и матрица ковариаций Rv вектора v . Требуется получить выражения для математического ожидания и матрицы ковариаций вектора y .

Решение.

Учитывая независимостьx и v , условие согласованности и используя (1.2.9), (1.2.10), имеем

M y {y}= ∫ s(x) fx (x)dx + v ,

M y {( y − y)(y − y)т}= ∫(s(x) − y)(s(x) − y)т fx (x)dx + Rv .

52

Задача 1.2.4. Пусть задан двухмерный вектор x = (x1 , x2 )т с независимыми компонентами и математическим ожиданием x = (x1 , x2 )т . Покажите, что справедливо следующее соотношение

M x {x1x2 }= x1 x2 .

Решение.

M x {x1x2 }= ∫ ∫ x1x2 f (x1, x2 )dx1dx2 = ∫ x1 f (x1 )dx1 ∫ x2 f (x2 )dx2 = x1x2 .

Задача 1.2.5. Задан n - мерный центрированный случайный вектор x . Известно, что его компоненты представляют собой некоррелированные случайные величины, дисперсии которых

равны ri2 , i =1.n .

Запишите выражение для матрицы ковариаций. Дополнительно полагая, что вектор гауссовский, запишите выражение для ф.п.р.в.

математическим ожиданием x = (x1, x2 , x3 )т и матрицей ковариаций P x = {Pijx }, i, j =1.3 .

Запишите выражение для ф.п.р.в. для подвекторов (x1, x2 )т , (x2 , x3 )т , (x1, x3 )т .

Задача 1.2.7. Пусть компоненты двумерного центрированного гауссовского вектора x описывают ошибки местоположения объекта на плоскости относительно некоторой заданной

1.2.6Вопросы к разделу 1.2

1.Дайте определение случайного вектора и соответствующих ему понятий ф.р.в. и ф.п.р.в. Перечислите основные свойства этих функций.

2.Дайте определение математического ожидания, матрицы ковариаций для случайного вектора и поясните, как получить их значения для двух произвольно выбранных компонент случайного вектора при условии, что эти параметры известны для полного вектора.

3.В чем заключается условие согласованности для совместной ф.п.р.в? Как можно найти ф.п.р.в. для двух произвольно выбранных компонент случайного вектора при условии, что эта функция известна для всего вектора?

53

4.Дайте определение независимости и некоррелированности с.в. Поясните, почему из условия независимости случайных величин следует их некоррелированность? В каком частном случае справедливо обратное утверждение и почему?

5.Поясните, почему операция взятия математического ожидания является линейной.

6.Запишите выражение для ф.п.р.в. двух произвольно выбранных компонент гауссовского случайного вектора при условии, что известны параметры ф.п.р.в. для всего вектора.

7.Поясните, как определить вероятность попадания в круг заданного радиуса точки, координаты которой на плоскости представляют собой гауссовские центрированные с.в. При каких условиях это можно сделать с помощью плотности распределения Рэлея?

8.Дайте определение радиальной среднеквадратической ошибки, круга и сферы равных вероятностей.