Matan
.pdf
|
|
|
ì4x |
4 |
- x |
5 |
= -2x |
+ x |
2 |
- 3x |
3 , |
||||
|
|
í |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
î |
5x4 = -x1 + 6x2 - 4x3 |
|
|||||||||||
ì |
= |
- x1 + 6x2 - 4x3 |
|
|
|
|
|||||||||
ïx4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда í |
|
|
|
|
|
- x . |
|
|
|
|
|||||
= |
|
6x +19x |
|
|
|
|
|
||||||||
î x5 |
|
1 |
5 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:
1) х1 = 1, х2 = х3 = 0.
Тогда х4 = -0,2, х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца
|
æ |
1 |
ö |
|
ç |
0 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
X1 = |
ç |
0 |
÷ |
ç |
÷ . |
||
|
ç |
- 0,2 |
÷ |
|
ç |
1,2 |
÷ |
|
è |
ø |
2) х1 = 0, х2 = 1, х3 = 0.
При этом х4 = 1,2, х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид
|
æ |
0 |
ö |
|
ç |
1 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
X 2 = |
ç |
0 |
÷ |
ç |
÷ . |
||
|
ç1,2 |
÷ |
|
|
ç |
3,8 |
÷ |
|
è |
ø |
|
3) х1 = х2 = 0, х3 = 1. Отсюда х4 = -0,8, х5 = -0,2, и последний столбец
|
æ |
0 |
ö |
|
ç |
0 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
X3 = |
ç |
1 |
÷ |
ç |
÷ . |
||
|
ç |
- 0,8 |
÷ |
|
ç |
- 0,2 |
÷ |
|
è |
ø |
Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется нормальной. Поскольку столбцы
æ |
1 |
ö |
æ |
0 |
ö |
æ |
0 |
ö |
ç |
0 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
ç |
0 |
÷ |
свободных неизвестных ç |
÷ , |
ç |
÷ , |
ç |
÷ линейно независимы, это |
|||
ç |
0 |
÷ |
ç |
0 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
гарантирует линейную независимость решений Х1, Х2, Х3.
Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать
21
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
æ |
1 |
ö |
|
æ |
0 |
ö |
|
æ |
0 |
ö |
ç |
0 |
÷ |
|
ç |
1 |
÷ |
|
ç |
0 |
÷ |
ç |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
ç |
÷ |
|||
ç |
0 |
÷ |
, |
ç |
0 |
÷ |
, |
ç |
1 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ . |
|||||
ç |
- 0,2 |
÷ |
|
ç |
1,2 |
÷ |
|
ç |
- 0,8 |
÷ |
ç |
1,2 |
÷ |
|
ç |
3,8 |
÷ |
|
ç |
- 0,2 |
÷ |
è |
ø |
|
è |
ø |
|
è |
ø |
При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + с2Х2 + с3Х3, где с1, с2, с3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.
5. Структура общего решения неоднородной линейной системы
Рассмотрим неоднородную линейную систему (1). Такая система будет совместной, если ранг матрицы системы (7) равен рангу расширенной матрицы, то есть матрицы системы, к которой добавлен столбец свободных членов:
|
æ |
a |
a |
... |
a |
b |
ö |
|
ç |
11 |
12 |
|
1n |
1 |
÷ |
A = |
ç a21 |
a22 |
... |
a2n |
b2 |
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ . |
|
1 |
|
|
... ... |
... |
|||
|
ç ... ... |
÷ |
|||||
|
ç |
|
am2 |
... |
amn |
|
÷ |
|
èam1 |
bm ø |
|||||
Ее общее решение можно получить, выражая базисные неизвестные через свободные, то есть решая систему относительно базисных неизвестных (такая система всегда определена, что следует из правила Крамера).
Пример 17.
Найти общее решение и одно из частных решений линейной системы
Решение. Найдем r(A)
|
|
æ |
3 |
-1 |
|
|
ç |
2 |
1 |
A |
= |
ç |
||
ç |
|
|
||
1 |
|
1 |
- 2 |
|
|
|
ç |
||
|
|
ç |
8 |
-1 |
|
|
è |
ì 3x1 - x2 + 2x3 - x4 + 5x5 = 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
ï |
2x1 + x2 |
- x3 + 3x4 |
- x5 = -2 |
|
|
||||||||||||||||
ï |
|
|
|||||||||||||||||||
íx - 2x |
2 |
+ 3x |
3 |
- 4x |
4 |
+ 6x |
5 |
= 5. |
|
|
|
|
|||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ï |
8x - x |
2 |
+ 3x |
3 |
|
+ x |
4 |
+ 9x |
5 |
|
= 4 |
|
|
|
|
||||||
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и r(A1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 -1 5 |
|
3 ö |
|
æ |
1 - 2 3 - 4 6 |
|
5 ö |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
-1 3 -1 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
3 -1 2 -1 5 |
|
3 |
÷ |
|
||||||||
|
- 2÷ |
|
ç |
|
÷ |
~ |
|||||||||||||||
|
3 - 4 6 |
|
5 |
÷ ~ |
ç |
2 1 -1 3 -1 |
|
- 2 |
÷ |
||||||||||||
|
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
||||||||||||||
|
1 |
1 9 |
|
4 |
÷ |
|
ç |
8 -1 1 1 9 |
|
4 |
÷ |
|
|||||||||
|
|
ø |
|
è |
|
ø |
|
||||||||||||||
22
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
æ1 - 2 |
3 - 4 6 |
|
|
|
5 |
|
ö |
æ1 |
- 2 3 |
- 4 6 |
|
5 |
ö |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
ç |
0 |
5 |
- 7 11 |
-13 |
|
-12 |
÷ |
ç |
0 |
5 |
- 7 11 -13 |
|
-12 |
÷ |
|
||||
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|||||||||||||
~ ç |
0 |
5 |
- 7 11 |
-13 |
|
-12 |
÷ |
~ ç |
0 |
0 |
0 |
0 0 |
|
0 |
÷ |
~ |
|||
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|||||||||||||
ç |
0 |
15 |
- 21 33 |
- 39 |
|
- 36 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
0 0 |
|
0 |
÷ |
|
|||
è |
|
ø |
è |
|
ø |
|
|||||||||||||
æ1 |
- 2 |
3 - 4 6 |
|
5 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
~ çç |
|
- 7 11 -13 |
|
-12 |
÷÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
è0 5 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, r = r(A) = r(A1) = 2, а число неизвестных п = 5. Следовательно, r < n, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).
Число базисных неизвестных равно r, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных х1 и х2, коэффициенты при которых
1 - 2
входят в базисный минор преобразованной матрицы А: 0 5 .
Соответственно х3, х4, х5 – свободные неизвестные.
Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:
ìx1 - 2x2 + 3x3 - 4x4 + 6x5 = 5
íî5x2 - 7x3 + 11x4 -13x5 = -12
и выразим базисные неизвестные через свободные:
ì |
x = - |
x3 + 2x4 + 4x5 -1 |
|
||||||
ï |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
5 |
|
-12 . |
||
í |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
7x -11x +13x |
|
||||||
îx2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
||||
Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: х3 = х4 = х5 = 0. Тогда
x1 = - 15 , x2 = - 125 .
ì |
x = - |
x3 + 2x4 + 4x5 -1 |
|
||||||
ï |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Таким образом, общее решение – í |
|
|
|
|
|
|
-12 ; |
||
|
= |
7x -11x +13x |
|
||||||
îx2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
||||
частное решение – x1 = - 15 , x2 = -125 , х3 = х4 = х5 = 0.
23
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Другая возможность получить общее решение неоднородной системы заключается в предварительном нахождении общего решения соответствую-щей однородной системы. При этом искомое общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы (6) и частного решения системы (3).
Пример 18.
Найти общее решение неоднородной линейной системы
ì x1 + x2 + x3 + x4 + x5 |
= 2 |
||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
í2x1 - x2 + 3x3 - 4x4 + 5x5 = 3 |
|||||||
ï |
3x + 4x |
3 |
- 3x |
4 |
+ 6x |
5 |
= 5 |
î |
1 |
|
|
|
|||
с помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.
Решение.
Убедимся в том, что система совместна:
|
|
æ |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
2ö |
æ |
1 1 |
1 |
1 1 |
|
2ö |
æ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2ö |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
A1 = |
ç |
2 |
-1 3 |
- 4 5 |
|
3 |
÷ |
ç |
3 |
0 |
4 |
- 3 6 |
|
5 |
÷ |
ç |
3 |
0 |
4 |
- 3 6 |
|
5 |
÷ |
||||||
ç |
|
÷ ~ ç |
|
÷ ~ ç |
|
÷ ~ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
3 |
0 |
4 |
- 3 6 |
|
5 |
÷ |
ç |
3 |
0 |
4 |
- 3 6 |
|
5 |
÷ |
ç |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
÷ |
|||
|
|
è |
|
ø |
è |
|
ø |
è |
|
ø |
|||||||||||||||||||
æ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
~ çç |
|
|
0 4 |
- 3 6 |
|
5 |
÷÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
è3 |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Итак, r(A) = r(A1) = 2 – система совместна.
Составим по преобразованной матрице однородную систему:
ì x1 + x2 + x3 + x4 + x5 |
= 0 |
||||
í |
3x1 |
+ 4 x3 |
- 3x4 |
+ 6 x5 |
= 0 |
î |
|||||
и найдем для нее фундаментальную систему решений:
ìx + x |
2 |
= -x |
3 |
- x |
4 |
- x |
5 , |
|||
í |
1 |
|
|
|
|
|
||||
î3x1 = -4x3 + 3x4 - 6x5 |
||||||||||
ì |
|
- 4x3 + 3x4 - 6x5 |
|
|||||||
ïx1 = |
|
|
3 |
|
|
|
|
. |
||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x3 - 6x4 + 3x5 |
||||||||
ï |
x2 = |
|
||||||||
î |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
Фундаментальная система решений может быть выбрана так:
24
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
|
æ |
- 4ö |
|
|
æ |
1 ö |
|
|
æ |
- 2ö |
|||
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
ç |
- 2 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|||
X1 = |
ç |
3 |
÷ |
, |
X 2 = |
ç |
0 |
÷ |
, |
X3 = |
ç |
0 |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ . |
||||||||
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
÷ |
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
è |
ø |
|||
Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы
ìx1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2 íî3x1 + 4x3 - 3x4 + 6x5 = 5.
Положим х3 = х4 = х5 |
= 0, тогда |
|
x1 |
= 5 , |
x2 = 1 . Следовательно, |
||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
æ |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xчастн = |
ç |
3 |
÷ |
, и общее решение системы имеет вид: |
|||||||||||
ç |
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
5 |
ö |
|
|
æ- 4ö |
æ |
1 ö |
æ |
- 2ö |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||
ç |
1 |
÷ |
ç |
- 2 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
||||
ç |
|
÷ |
ç |
0 |
÷ |
ç |
0 |
÷ |
+ |
ç |
03 |
÷ |
, где с1, с2, с3 – произвольные |
||
X = с1ç |
3 ÷ |
+ с2 ç |
÷ |
+ с3 ç |
÷ |
ç |
÷ |
||||||||
ç |
0 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
ç |
0 |
÷ |
|
ç ÷ |
|
|
|||
ç |
0 |
÷ |
ç |
0 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
|
ç |
0 |
÷ |
|
|
|
è |
ø |
è |
ø |
è |
ø |
|
ç ÷ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
0 |
ø |
|
|
постоянные.
25
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
ВАРИАНТЫ КУРСОВЫХ ЗАДАНИЙ Вариант №1
|
8 |
1 |
9 |
0 |
|
1. Вычислить определитель |
6 |
-1 |
4 |
1 |
. |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
|
1 |
-1 |
2 |
-2 |
|
|
æ |
3 0 4 ö |
|
æ -1 |
1 2 ö |
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
ç |
-2 |
2 |
÷ |
|
ç |
0 |
1 |
|
|
÷ |
вычислить |
||||||
Для матриц A = ç |
-3÷ |
и B = ç |
|
-2÷ |
||||||||||||||
|
ç |
1 |
1 |
÷ |
|
ç |
5 |
3 |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
||
|
è |
2 ø |
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|||||||
|
матричный многочлен А2 – ВА + 3А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
-1 |
|
3ö |
|||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
-5 |
|
1 |
÷ |
||
Вычислить обратную матрицу для матрицы ç |
|
÷. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
4 |
-7 |
|
1 |
÷ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|||||
|
|
|
æ |
2 |
7 |
3 |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
3 |
5 |
-2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти ранг матрицы ç |
1 |
5 |
-9 |
8 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
è |
5 |
18 |
4 |
5 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì x + 2y - 2z = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить систему уравнений í4x - y +10z = 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
5x + 3y |
- 5z = 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ì2x - 3y + z = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить систему уравнений í x + 2 y - 3z = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î5x + y - 6z = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Найти фундаментальную систему решений и общее решение |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ì5x + 2x |
2 |
+ 2x +12x |
4 |
- 43x = 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
x1 - x2 + x3 - 4x4 - 4x5 = 0 |
||||||||||
|
системы однородных уравнений |
í3x + 3x |
2 |
- 2x |
3 |
+ 30x |
4 |
- 22x = 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
ï 6x + x |
2 |
+ x |
3 |
+ 20x |
4 |
- 39x = 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|||
26
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Вариант №2
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить определитель |
|
2 |
2 |
3 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|||||
|
3 |
3 |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
æ 1 0 1ö |
|
|
|
æ -7 1 -3ö |
|
|
|
|||||||||
2. |
ç |
-2 |
-1 |
2 |
÷ |
и |
B = |
ç |
5 1 2 |
÷ |
вычислить |
||||||
Для матриц A = ç |
÷ |
ç |
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
1 |
-1 2 |
÷ |
|
|
|
ç |
0 1 4 |
÷ |
|
|
|
||||
|
è |
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||
|
матричный многочлен В2 + ВА + 2А. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
8 |
5 |
-46 |
ö |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
1 |
-12 |
÷ |
|
Вычислить обратную матрицу для матрицы ç |
÷. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
2 |
25 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
||||
|
|
|
æ |
2 |
1 |
|
4 |
5 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
ç |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти ранг матрицы ç |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ç |
1 |
2 |
|
4 |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ì x - 3z + 4t = -4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Решить систему уравнений |
ï2x + y +10z -15t = 10 |
. |
|
|
|||||||
í |
2 y + 3z - 6t = 7 |
|
|
|
|
|||||||
ï |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ï |
3x + 4 y - z + 2t = 4 |
|
|
|
||||||
|
|
î |
|
|
|
|||||||
|
|
ì 2x1 - x2 - x3 - 2x4 - x5 = 2 |
|
|||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
- 2x5 |
= -1 |
|
|
|
|
ï-x1 - 2x2 + 3x3 + x4 |
. |
|||||||||
6. |
Решить систему уравнений |
í |
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1 |
|||||||||
ï |
|
|||||||||||
|
|
ï |
2x - 3x |
2 |
+ x |
3 |
- 2x |
4 |
- 3x = 2 |
|
||
|
|
î |
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|||
7. Найти фундаментальную систему решений и общее решение
|
ì-3x1 + 2x2 + 2x3 + 5x4 = 0 |
|
|||||
|
ï |
-4x1 - x2 - x3 + 3x4 |
= 0 |
|
|||
|
ï |
. |
|||||
системы однородных уравнений |
í |
x1 + 5x2 |
+ x3 -12x4 |
= 0 |
|||
ï |
|
||||||
|
ï2x + 2x |
2 |
+ 7x + 20x |
4 |
= 0 |
|
|
|
î |
1 |
3 |
|
|
||
27
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Вариант №3
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Вычислить определитель |
|
2 |
1 |
3 |
0 |
. |
|
|
|
|
||||
|
3 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
4 |
1 |
2 |
ö |
|
|
æ1 |
0 |
3 |
ö |
|
||
2. |
Для матриц |
ç |
-2 |
0 |
2 |
÷ |
и |
|
ç |
|
-2 |
4 |
÷ |
вычислить |
|
A = ç |
÷ |
B = ç1 |
÷ |
||||||||||||
|
|
ç |
3 |
-1 2 |
÷ |
|
|
ç |
|
-2 |
-4 |
÷ |
|
||
|
|
è |
ø |
|
|
è1 |
ø |
|
|||||||
матричный многочлен А2 – 2ВА + А.
æ |
3 |
1 |
6 |
ö |
ç |
2 |
-3 |
6 |
÷ |
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы ç |
÷. |
|||
ç |
5 |
1 |
27 |
÷ |
è |
ø |
æ |
1 |
1 |
1 |
1 |
ö |
ç |
1 |
2 |
1 |
2 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
4. Найти ранг матрицы ç |
3 |
1 |
3 |
1 |
÷. |
ç |
÷ |
||||
è |
0 |
1 |
1 |
0 |
ø |
|
|
ì |
2x - y + 5t = 6 |
|
|
ï |
3x + 2y - z = 3 |
|
|
ï |
|
5. |
Решить систему уравнений |
í |
|
ï-x + 2 y + 4z + t = 10 . |
|||
|
|
ï |
- y - z + 3t = 0 |
|
|
î |
|
|
|
ì |
x - y = 3 |
6. |
Решить систему уравнений |
ï |
2x + y - 3z = 3 . |
í |
|||
|
|
ï |
|
|
|
î-x - 2 y + 3z = 0 |
|
7. Найти фундаментальную систему решений и общее решение
|
ì 3x1 - x2 -15x3 + 4x4 = 0 |
||||||
системы однородных уравнений |
ï |
|
+ 2x2 |
+ 2x3 +13x4 |
|
= 0 . |
|
í x1 |
|
||||||
|
ï3x |
2 |
+ 2x |
2 |
- 6x +19x |
4 |
= 0 |
|
î |
|
3 |
|
|||
28
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Вариант №4
|
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
|
1. Вычислить определитель |
1 |
1 |
4 |
1 |
1 |
. |
|
1 |
1 |
1 |
5 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
6 |
|
|
æ |
0 |
1 |
2 |
ö |
|
æ |
1 |
3 |
0 |
ö |
|
2. Для матриц |
ç |
3 |
1 |
2 |
÷ |
и |
ç |
2 |
2 |
4 |
÷ |
вычислить |
A = ç |
÷ |
B = ç |
÷ |
|||||||||
|
ç |
-3 3 |
2 |
÷ |
|
ç |
3 |
1 |
|
÷ |
|
|
|
è |
ø |
|
è |
-1ø |
|
||||||
матричный многочлен 2А2 + ВА + 3А.
æ -5 |
3 |
14 |
ö |
|
ç |
4 |
2 |
13 |
÷ |
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы ç |
÷. |
|||
ç |
3 |
5 |
26 |
÷ |
è |
ø |
|||
æ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1ö |
ç |
0 |
1 |
1 |
1 |
÷ |
ç |
1÷ |
||||
4. Найти ранг матрицы ç |
0 |
0 |
1 |
1 |
1÷. |
ç |
0 |
0 |
0 |
1 |
÷ |
ç |
1÷ |
||||
ç |
0 |
0 |
0 |
0 |
÷ |
è |
1ø |
|
|
ì4x + 4 y - 5z = -2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
Решить систему уравнений |
ï |
3x + 2 y + z = 7 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
í |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ï |
x - y |
+10z = 20 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ì x + 3y - z = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Решить систему уравнений |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í x + 2 y + z = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx + 4 y - 3z = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Найти фундаментальную систему решений и общее решение |
|||||||||||||
|
|
|
ì9x + 3x |
2 |
|
- 9x |
3 |
- 24x |
4 |
= 0 |
||||
|
|
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ï |
x1 - x2 - x3 = 0 |
|
|
= 0 . |
|||||||
|
системы однородных уравнений í |
2x + 2x |
|
|
- 2x |
- 8x |
|
|
||||||
|
|
|
ï |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
||
|
|
|
ï |
-x + 2x |
2 |
+ x |
3 |
- 2x |
4 |
= 0 |
||||
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
29
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Вариант №5
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
-1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Вычислить определитель |
|
5 |
|
2 |
0 |
1 |
|
. |
|
|
||||
|
0 |
|
2 |
1 |
-3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
-2 |
9 |
8 |
|
|
|
|
|
|
æ 3 |
-1 0 |
ö |
|
æ |
-1 0 2 ö |
|
|||||||
2. |
Для матриц |
ç |
-2 1 |
-3 |
÷ |
и |
ç |
3 1 -2 |
÷ |
вычислить |
|||||
A = ç |
÷ |
B = ç |
÷ |
||||||||||||
|
|
ç |
5 |
1 |
2 |
÷ |
|
ç |
5 -4 1 |
÷ |
|
||||
|
|
è |
ø |
|
è |
ø |
|
||||||||
матричный многочлен В2 – ВА + 4А.
æ |
3 |
4 |
27 |
ö |
ç |
4 |
-1 |
35 |
÷ |
3. Вычислить обратную матрицу для матрицы ç |
÷. |
|||
ç |
5 |
-2 |
43 |
÷ |
è |
ø |
æ |
1 |
3 |
-1 |
6 |
ö |
ç |
7 |
1 |
-3 |
10 |
÷ |
ç |
÷ |
||||
4. Найти ранг матрицы ç |
|
1 |
-7 |
22 |
÷. |
ç17 |
÷ |
||||
è |
3 |
4 |
-2 |
10 |
ø |
|
|
ì2x + 3y - 4z + 5t = 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ï |
- y - t |
= -1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ï |
. |
|
|
|
|
||||||
5. |
Решить систему уравнений |
í |
x - 3z + 8t = -1 |
|
|
|
|
||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î x + 2y - 4z + 3t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ì2x - 3y + z = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï x + 2 y - 3z = 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Решить систему уравнений |
í |
|
|
= 5 |
|
|
|
|
|
|
||
ï5x + y - 6z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ï |
3x - y - 2z |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Найти фундаментальную систему решений и общее решение |
||||||||||||
|
|
|
ì 2x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = 0 |
||||||||||
|
|
|
ï |
x1 |
- x2 + x3 + 4x4 |
= 0 . |
|||||||
|
системы однородных уравнений í |
||||||||||||
|
|
|
ï3x + 2x |
2 |
-17x |
3 |
-13x |
4 |
= 0 |
||||
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
30
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com