Введение

В этом документе представлен конспект лекций по курсу “Методы передачи дискретных сообщений”, читавшийся студентам кафедры информационных систем факультета систем управления Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического приборостроения в 1995-2004гг. В конспекте представлены практически все вопросы, входящие в лекционную часть курса. Первая редакция этого конспекта относится к 2001 г.

1. Структура системы передачи информации. Модели каналов и помех.

Самая общая структура системы передачи информации показана на рис.1.1.

Рис.1.1 Общая схема системы передачи информации

Здесь под каналом понимается часть системы передачи, природа и характеристики которой заданы, а их изменение нежелательно, затруднено или просто невозможно. Задача,

решаемая системой передачи, состоит в том, чтобы передать сообщение m от источника к

получателю. Как правило, сообщение источника представлено в такой форме, в которой

невозможна его эффективная передача по каналу. Поэтому в систему обычно включаются устройства передачи и приема, которые выполняют преобразование сообщения m в сигнал

детерминированным, но не взаимно однозначным.

при заданных значениях этих параметров требуется обеспечить требуемое качество передачи.

Помехи, действующие в канале передачи информации, можно разделить на помехи

естественного происхождения и помехи искусственного происхождения, которые в свою очередь делятся на преднамеренные и непреднамеренные. По своему действию на передаваемый сигнал помехи могут быть аддитивными и мультипликативными. Среди аддитивных помех различаются а) тепловой шум, б) сосредоточенная помеха, в) импульсная помеха, г) помехи от других систем передачи. На рис.1.5 показаны типичные реализации некоторых аддитивных помех (слева) и их спектральное представление (справа).

Рис.1.5 Аддитивные помехи: шум, сосредоточенная, импульсная (сверху вниз); а) типичные реализации, б) типичные спектры

Видно, что спектр сосредоточенной помехи сконцентрирован в нескольких узких участках частотного диапазона, а сама сосредоточенная помеха занимает всю временную область. Импульсная помеха представляет собой последовательность коротких по сравнению с длительностью полезного сигнала импульсов, то есть импульсная помеха сосредоточена во временной области. Спектр импульсной помехи достаточно протяжен в частотной области. Реализация теплового шума занимает всю временную область. Спектр теплового шума занимает всю частотную область и имеет примерно равную интенсивность на всех частотах.

2. Геометрическое представление сигналов

j=1

Величина D называется размерностью пространства сигналов. Заметим, что D может быть конечной или бесконечной величиной. По поводу размерности D следует сделать пару замечаний.

Замечание 1. Пусть {si (t)}, i = 0,..., q −1, некоторое фиксированное сигнальное множество. Тогда существует алгоритм построения базиса {ϕ j (t)} , j =1,..., D , и D ≤ q ,

причем равенство имеет место только тогда, когда сигналы {si (t)} линейно независимы.

Алгоритм построения базиса по набору сигналов {si (t)} называется процедурой Грама– Шмидта (см. Приложение 0). □

Замечание 2. Если сигнальное множество не фиксировано, но все сигналы имеют конечную норму, то существует универсальный базис {ϕ j (t)} , с помощью которого можно представить любой сигнал. Число базисных функций в этом случае может быть бесконечным. □

Вернемся к рассмотрению равенства (2.1), называемого также обобщенным рядом Фурье. Величины s j в (2.1) называются коэффициентами разложения сигнала s(t) по базису

{ϕ j (t)} . Найдем как коэффициенты разложения связаны с сигналом. Для этого умножим

левую и правую части равенства (2.1) на ϕk (t) и проинтегрируем на интервале [0,T ] , т.е.

вычислим

которые ставят во взаимное соответствие сигнал s(t) и набор коэффициентов s = (s1 , s2 ,..., sD ) что будем обозначать как

{ϕ j (t )}

s(t) ↔ s .

Далее рассмотрим случай сигнального множества конечной размерности, т.е. D < ∞.

В этом случае имеет место отображение сигнального множества {si (t)} в множество сигнальных векторов, или сигнальных точек в D -мерном вещественном пространстве RD

тогда

также, что при N = D это рассогласование равно нулю. □

Свойство 2. Энергия, или квадрат нормы сигнала равна квадрату нормы (квадрату длины) соответствующего сигнального вектора, т.е.

□

Свойство 3. Скалярное произведение сигналов равно скалярному произведению соответствующих сигнальных векторов, т.е. (s1 , s2 ) = (s1 ,s2 ) ;

d(s1 , s2 ) = d(s1 ,s2 ) ; иными словами расстояние между сигнальными функциями совпадает с расстоянием между соответствующими сигнальными точками. □

Рассмотрим квадрат расстояния между сигналами

T T T T

d 2 (s1 , s2 ) = ∫(s1 (t) − s2 (t))2 dt =∫s12 (t)dt − 2∫s1 (t)s2 (t)dt + ∫s22 (t)dt =

Замечание. Перечисленные свойства отображения (2.4) справедливы независимо от конкретного вида базиса, который может быть выбран многими способами.

Примеры базисов. Рассмотрим два примера универсальных, или функционально полных, базисов. Эти базисы содержат бесконечно много функций и могут использоваться для представления любых сигнальных функций.

1. Ортонормированный гармонический базис. Пусть 0 ≤ t ≤T .

нескольких первых функций базиса Уолша показаны на рис.2.2. □

Если положить t = (τ +1/ 2)T , то t [0,T ] , если τ [−1/ 2,1/ 2] . Поэтому, множество

функций ϕn (t) , определенных какϕn (t) = 1/ T wn (t / T −1/ 2) , образуют ортонормированный

базис на интервале [0,T ] . Множитель 1/ T обеспечивает, как и ранее, нормировку функций базиса.

3. Периодические сигналы и ряд Фурье

Если для сигнала s(t) выполняется условие s(t) = s(t ± T ) , то он называется

периодическим. Наименьшее T , для которого это условие выполняется, называется периодом сигнала.

Рассмотрим интервал [− T / 2,T / 2] . В качестве базиса возьмем гармонический базис,

Заметим, что этот базис обладает свойством ортонормированности не только на интервале [0,T ] , но и на интервале [− T / 2,T / 2]. Вычислим коэффициенты разложения

значит, что обобщенный ряд Фурье для периодических функций и для гармонического базиса совпадает с обычным рядом Фурье.