4.2. Арифметика остатков

если R n (a) = R n (b).

Отношение (1) есть отношение эквивалентности. Это отношение разбивает Ζ на непересекающиеся классы вычетов. Класс вычетов будем обозначать [a], a,b [a] a ≡ b(n) .

Ζ/ n ={[a]} -коммутативное кольцо:

1.[a] + [b] = [a + b] корректно определенная коммутативная, ассоциативная операция.

2.[a] [b] = [a b] корректно определенная коммутативная, ассоциативная операция.

3.([a] + [b]) [c] = [a c] + [b c].

Докажем, что результат операции сложения не зависит от выбора

Для операции умножения корректность доказывается аналогично.

Лемма 1.

a [b] a − b = kn .

Доказательство непосредственно следует из (1).

Лемма 2. В любом классе вычетов существует единственное наименьшее неотрицательное число.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

a N, a [a] r < n r [a].

82

Если a > n: a = qn + r, r < n, то a – r = qn и по лемме 1 r [a].

Докажем единственность от противного. Предположим, что r1 ≠ r,

r1 < n, r1 [a]. Пусть r1 < r, тогда r - r1 = qn > 0 q ≥ 1, но так как r < n, r1 < n, то r - r1 < n – противоречие. Следовательно, не существует такого

r1. Лемма доказана.

С другой стороны, a,b Ν, a > b > 0, Rb (a) = r = a(mod b). Следующие свойства остатков важны для дальнейшего.

1.(c d)(modb) = (c(modb) d(modb))(modb), где {+, -, × }.

2.(a×(c+d))(modb) = ( (a×c)(modb) + (a×d)(modb))(modb).

Использование вычетов в криптографии основано на существовании

алгоритма быстрого возведения в степень. Пусть

a2 2 (mod n) = (a2 )2 (mod n) = (a2 (mod n))2 (mod n),

где a2 (mod n) – остаток от деления a 2 на n, следовательно, его проще

возводить в квадрат, чем число a 2 . Таким образом, любая степень числа два позволяет быстрее возводить в степень, если последовательно приводить промежуточные результаты по модулю n.

a 2k mod n = ((a 2 (mod n))2 (mod n))2 (mod n) K

Если х – произвольное число, то существует представление x = a0 20 + a1 21 +K+ ak 2k

и тогда возведение в степень опирается на быстрый алгоритм возведения в степень числа 2:

a x (mod n) = (a a0 20 (mod n) a a1 21 (mod n)Ka ak 2k (mod n)) (mod n)

Пример 1.

312 (mod19) = (38 mod19)(34 mod19) (mod19);

34 (mod19) = (32 (mod19))2 (mod19) = 92 (mod19) = 5; 38 (mod19) = (34 (mod19))2 (mod19) = 52 (mod19) = 6;

312 (mod19) = (6 5)(mod19) =11.

Можно доказать, что возведение в степень k требует в среднем 1,5k операций.

83

4.3. Основные теоремы о вычетах.

наименьшие неотрицательные представители различных классов вычетов mod n. Рассмотрим множество чисел:

u 0 = (ar 0 )(modn), u1 = (ar1)(modn),… , u n−1 = (ar n−1 )(modn).

Лемма 1. Числа u 0 , u1,… , u n−1 - различные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тогда i >j: u i = u j и по лемме 1 п. 4.2 ar i -ar j = nq, q Z. Тогда

a(ri -r j ) = nq.

Так как n простое и взаимно простое с a, то n делит (r i -r j ). Однако по лемме 1 п. 4.2 это противоречит тому, что r i и r j выбирались из разных

классов вычетов. Лемма доказана.

Следствие 1. Числа u 0 , u1,… , u n−1 - наименьшие неотрицательные

числа, меньшие n. Будем называть этот набор системой представителей для n. Пусть a Z и НОД(a,n) = 1. Рассмотрим набор чисел

Лемма 2. Если НОД(a,n) = 1, то набор чисел u1, u 2,… , uϕ(n)

является системой представителей для n.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Сначала докажем, что [u1], [u 2],… , [uϕ(n) ] -различны. Предположим противное. Тогда существуют u i и u j такие, что

u i ≡ u j (modn).

Отсюда следует ar i -ar j = nq при некотором q. Так как НОД(a,n) = 1, то в произведении a(ri -r j ) сомножитель (r i -r j ) делится на n.Это значит, что r i

86

Теорема 1. Существует p2−1 квадратичных вычетов и p2−1 не квадратичных вычетов в GF(p). У каждого квадратичного вычета суще-

нее двух корней. Если β =α2 (modp) и β = γ 2 (modp) , то

α2 −γ 2 ≡ 0( p),

(α −γ )(α +γ ) ≡ 0( p).

Тогда или α ≡ -γ(n) или α ≡ γ(n). Отсюда β имеет ровно два значения корня квадратного или ни одного. Ровно половина ненулевых элементов GF(p) есть квадратичные вычеты.

квадратичных вычетов по modn и у каждого квадратичного вычета 4 корня.

Пример 2. n = 35 = 5 7 446 = 6 квадратичных вычетов по

mod 35: 1, 4, 9, 11, 16, 29. Каждый квадратичный вычет имеет ровно 4 корня.

Определение 2. Для целого а и простого p>2 символ Лежандра определяется следующим образом:

L(a, p) = 0, если р/а;

L(a, p) = 1, если а- квадратичный вычет по mod p; L(a, p) = -1, если а- не квадратичный вычет по mod p.

2.а- квадратичный вычет, то есть x2 = a (mod p) . Тогда по теореме

Ферма

a p2−1 (mod p) = x2 p2−1 (mod p) = x p−1 ≡1 (mod p) .

87

x p−1 ≡1 (mod p) .

Любое а – его корень. Отсюда каждое a является корнем одного из сомножителей в следующем уравнении:

p−1 p−1

(x 2 −1)(x 2 +1) ≡ 0 (mod p) .

Значит, p2−1 значений квадратичных вычетов а являются корнями урав-

нения

p −1

x 2 −1 ≡ 0 (mod p) .

Тогда по основной теореме алгебры остальные а, не являющиеся квадратичными вычетами, являются корнями уравнения

p −1

x 2 +1 ≡ 0 (mod p) .

Если а- не квадратичный вычет, тогда

p −1

a 2 = −1(mod p) .

Теорема доказана.

Определение 3. Пусть р- простое, g < p. g называется примитивным элементом мультипликативной группы поля GF(p) (или примитивным эле-

ментом по mod p), если 0 < n ≤ p-1 a: n ≡ g a (mod p) .

Пример 3. При p = 11, 2 есть примитивный мультипликативной груп-

пы GF(11).