Матанализ. Пределы и производная
.pdf
Примеры вопросов для теоретического опроса по математическому анализу
2014 ã.
|
Задания для выполнения на компьютере |
|
||
|
Тема: Пределы и производная |
|
||
1. |
Дана последовательность xn = 2n−3 |
|
lim xn и найти зависимость N("). |
|
|
4n+3 . Вычислить n→∞ |
|
||
|
В ответе указать наименьшее N (0:001). |
|
|
|
|
Ответ: 1125 |
|
|
|
2. |
Дана функция f(x) = 4x2 + 8x −7. Вычислить xlim1 f(x) и найти зависимость ("). Â |
|||
|
|
|
→− |
|
|
ответе указать наибольшее (0:01). Ответ представить в виде конечной десятичной |
|||
|
дроби, указав все значащие цифры. Дробную часть отделять от целой части точкой. |
|||
|
Ответ: 0.05 |
|
|
|
3. |
Пределы числовых последовательностей известны nlim xn = −3; |
|
||
|
|
|
→∞ |
|
|
nlim yn = −2. Последовательность zn = 4xn − 3yn + 5. Найти nlim zn: |
|||
|
→∞ |
|
→∞ |
|
|
Ответ: -1 |
|
|
|
4. |
Пределы числовых последовательностей известны lim xn = 3; |
|
||
|
|
|
n→∞ |
|
|
lim yn = 2. Последовательность zn = 3xnyn |
+ 5. Найти lim zn:. |
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
Ответ: 23 |
|
|
|
5. |
Пределы числовых последовательностей известны lim xn = 3; |
|
||
|
4xn |
|
n→∞ |
|
|
nlim yn = −2. Последовательность zn = yn + 3. Найти nlim zn. |
|
||
|
→∞ |
|
→∞ |
|
|
Ответ: -3 |
|
|
|
6. |
Найти точки разрыва 2-го рода функции y = |
|
|x2 − 5x + 6| |
. В случае несколь- |
|
(x − 2)(x − 3)(x + 5) |
|||
|
|
|
|
|
|
ких точек указать их в порядке возрастания, разделяя знаком ¾точка с запятой¿, |
|||
|
пробел не использовать. |
|
|
|
|
Ответ: -5. |
|
|
|
7. |
Найти точки разрыва 1-го рода функции y = |
|
|x2 − 5x + 6| |
. В случае несколь- |
|
(x − 2)(x − 3)(x − 5) |
|||
|
|
|
|
|
|
ких точек указать их в порядке возрастания, разделяя знаком ¾точка с запятой¿, |
|||
|
пробел не использовать. |
|
|
|
|
Ответ: 2;3 |
|
|
|
8. |
Найти приращение y функции y = 2x2 − 3x + 5 ïðè x = −1, |
|
||
|
åñëè x = 0:1. Ответ представить в виде конечной десятичной дроби, указав все |
|||
|
значащие цифры. Дробную часть отделять от целой части точкой. |
|||
|
Ответ: -0.68. |
|
|
|
9. |
Найти разность (x) = y − dy между приращением функции |
|
||
|
y = (2x+3)3 и ее дифференциалом при x = 1, åñëè x = 0:2. Ответ представить в ви- |
|||
|
де конечной десятичной дроби, указав все значащие цифры. Дробную часть отделять |
|||
|
от целой части точкой. |
|
|
|
|
Ответ: 2.464 |
|
|
|
10. |
Даны дифференцируемые функции f(x) è g(x) такие, что f(0) = 1; f′(0) = −2; g(0) = |
|||
|
3; g′(0) = −1. Функция h(x) = f(x)g(x) + 7. Вычислить производную функции h′(0). |
|||
|
Ответ: -7 |
|
|
|
1
11. Даны дифференцируемые функции f(x) è g(x) такие, что f(0) = 3; f′(0) = −2; g(0) =
5; g′(0) = 1: Функция h(x) = fg((xx)) − 7. Вычислить производную функции h′(0): Ответ: -0.52
12. Найти область определения функции y = f(x), заданной параметрически:
y = −4 sin(2t+1); x = 5 cos(5t+5). Ответ вписать в форме промежутка [a;b]. Пробел
не использовать. Ответ: [-5;5]
13. Найти множество значений функции y = f(x), заданной параметрически:
y = 4 sin(−3 + 2t); x = −3 cos(6t + 9). Ответ вписать в форме промежутка [a;b].
Пробел не использовать. Ответ: [-4;4]
14. Найти значение параметра t, при котором касательная к графику функции y = t2 + 3t+3; x = t2−6t−6 будет параллельна прямой y = −x. В ответе, при необходимости,
указать все значащие цифры конечной десятичной дроби. Дробную часть отделять от целой части точкой.
Ответ: 0.75
15. При каком значении a функция f(x) = x2 − 7x + 3 удовлетворяет теореме Ролля на промежутке [a; 5]?
Ответ: 2
16. Найти точку c [2; 3], в которой выполняется теорема Лагранжа для функции y = 3x2 + 6x + 9. В ответе, при необходимости, указать все значащие цифры конечной
десятичной дроби. Дробную часть отделять от целой части точкой. Ответ: 2.5
17. Найти абсциссу точки максимума функции y = 4x3 + 36x2 − 324x + 211. Ответ: -9
18. Найти абсциссу точки минимума функции y = −3x3 + 9x2 + 135x + 47. Ответ: -2
19. Найти абсциссу точки перегиба функции y = 2x3 − 18x2 + 30x − 87. В ответе, при
необходимости, указать все значащие цифры конечной десятичной дроби. Дробную часть отделять от целой части точкой.
Ответ: 3
20. Найти абсциссы точек пересечения с осью абсцисс вертикальных асимптот графика x − 2
функции y = x2 − 3x − 4 . В случае нескольких точек указать их в порядке возрастания, разделяя знаком ¾точка с запятой¿, пробел не использовать.
Ответ: -1;4
21. Найти угловой коэффициент наклонной асимптоты графика функции y = 3x2 + 5x − 7 .
5x + 9
В ответе, при необходимости, указать все значащие цифры конечной десятичной дроби. Дробную часть отделять от целой части точкой.
Ответ: 0.6
22. Найти ординату точки пересечения с осью ординат наклонной асимптоты графика
−3x2 + 3x + 11
функции y = 2x − 9 . В ответе, при необходимости, указать все значащие цифры конечной десятичной дроби. Дробную часть отделять от целой части точкой.
Ответ: -5.25
2
23.Функция y = f(x) дифференцируема в некотором интервале, содержащем точку x0, и ее производная равна 0 в этой точке. Выберите верное утверждение из приведенных ниже.
o Касательная к графику функции y = f(x), проведенная в точке x0, параллельна оси абсцисс.
o Касательная к графику функции y = f(x), проведенная в точке x0, не пересекает график данной функции.
o Точка x0 является точкой перегиба функции y = f(x).
o Точка x0 является точкой экстремума функции y = f(x). o Точка x0 является точкой максимума функции y = f(x).
24.Установите соответствие между приведенными определениями и понятиями, написанными далее.
o Предел отношения приращения функции в данной точке к приращению ее аргумента в этой же точке, при стремлении приращения аргумента к 0
o Производная функции в данной точке, умноженная на бесконечно малое приращение аргумента этой функции в этой точке
o Разность между значением функции в близкой точке и значением функции в данной точке
o Дифференциал функции в данной точке o Приращение функции в данной точке
o Производная функции в данной точке
3