Матанализ. Иинтегралы
.pdf
Примеры вопросов для теоретического опроса по математическому анализу
2014 ã.
Задания для выполнения на компьютере
|
|
|
Тема: Интегралы |
||
1. Чему равен |
2f(x) 2g(x)dx, åñëè |
|
|
||
∫ |
x3 |
+ 4x2 |
∫ |
5x + C: Выберите один ответ |
|
|
+ 2x + C; g(x)dx = x2 |
|
|||
f(x)dx = 2∫ |
|
|
|
|
|
4x3 + 6x2 + 14x + C
2x3 + 6x + C
4x3 + 10x2 + 5x + C
2x3 + x2 x + C
4x3 x2 + 9x + C
5x3 x2 + 2x + C
2. |
один ответ |
∫ |
|
|
|
∫ |
3 |
|
Известно, что |
|
f(x)dx = |
|
3tg(9x2 +9)+C: Укажите, чему равен |
|
f( x |
)dx: Выберите
9tg(x2 + 9) + C
tg( x92 + 9) + C
3tg(x2 + 19 ) + C
tg( x3 + 9) + C
tg(9x2) + C
tg(x2 + 9) + C
∫ ∫
3. Укажите, чему равен f(x + 1)dx , åñëè f(x)dx = F (x) + C. Выберите один ответ
F (x + 1) + C
F (x) + C
12 F (x + 2) + C
12 F (x) + C
F (x + 1) + C
2F (x) + C
4. |
Ответ: 3 |
∫ √1+x2 |
′ |
|
|
|
Известно, что |
|
2x+3 |
dx = F (x) + C: Чему равна производная F |
(0)? |
|
|
|
|||
5. Дана интегрируемая функция f(x) такая, что |
|
||||
|
∫ |
∫ |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
f(x)dx = 1; f(x)dx = 1: |
|
|||
|
−1 |
0 |
|
∫ |
|
|
Ответ: 0 |
|
|
|
|
|
Вычислить интеграл |
f(x)dx: |
|
||
|
|
|
−1 |
|
|
1
6. Дана интегрируемая функция f(x) такая, что |
|
|
||
∫ |
∫ |
23 |
|
|
21 |
23 |
|
|
|
f(x)dx = 222; f(x)dx = 221: |
|
|
||
11 |
11 |
∫ |
|
|
Ответ: -1 |
|
|
|
|
Вычислить интеграл |
f(x)dx: |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
7. Пусть f(x) - четная функция, а g(x) - нечетная, |
|
|||
∫ |
1 ∫ |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
f(x)dx = 1; g(x)dx = 5; h(x) = 10f(x) + 2g(x): |
|
|||
0 |
0 |
|
|
|
Ответ: -20 |
∫ |
|
|
|
Чему равен |
h(x)dx? |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
8. Интегралы от функций f(x); g(x) по промежетку [ 1; 3] равны |
|
|||
∫ |
∫ |
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
f(x)dx = 7; g(x) = 2: |
|
|
||
−1 |
−1 |
∫ |
|
|
Ответ: 6 |
|
|
|
|
Чему равен интеграл |
(2f(x) 4g(x))dx? |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
Ответ: -3 |
|
∫ |
|
|
|
|
0 |
et2+7(t2 + 9t + 18)dt: |
|
9. Найти абсциссу максимума функции f(x) = |
|
|||
|
|
x |
|
|
Ответ: 9 |
|
∫ |
|
|
|
|
2x |
|
|
10. Найти f′(0) для функции f(x) = e−t(t2 4t + 3)dt: |
|
|||
|
|
−x |
|
|
11. Найти все действительные корни уравнения f(x) = 0; ãäå |
|
|||
Ответ: 2∫ |
|
|
|
|
f(x) = 2x−5et−5t2 dt: |
|
|
|
|
−1 |
|
∫ |
|
|
Ответ: 4 |
|
|
|
|
|
|
x |
et2+1(t2 11t + 28)dt: |
|
12. Найти абсциссу максимума функции f(x) = |
|
|||
|
|
0 |
|
|
для всех возможных функций f(x) , удовлетворяющих на промежутке интегрирова∫ |
- |
|||
|
|
|
1 |
|
13. Укажите наименьший отрезок, которому принадлежат значения интеграла f(x)dx
−1
ния условию
4 f(x) 6 2x. Ответ запишите в виде [c; d]. Пробел не использовать. Ответ: [8; 12]
∫1
14. Укажите наименьший отрезок, которому принадлежат значения интеграла
−1
для всех возможных f(x) , удовлетворяющих на промежутке интегрирования усло-
âèþ
2x + 3 f(x) 5. Ответ запишите в виде [c; d]: Пробел не использовать. Ответ: [6; 10]
2
∫1
15. Укажите наименьший отрезок, которому принадлежат значения интеграла f(x)dx
−1
для всех возможных f(x) , удовлетворяющих на промежутке интегрирования усло-
вию условию
x 1 f(x) x + 1. Ответ запишите в виде [c; d]. Пробел не использовать. Ответ: [ 2; 2]
16.Найти среднее значение функции f(x) = 12x2 + 2x + 1 на промежутке [ 5; 5]. Ответ: 101
17.Найти x при котором функция f(x) = 12x2 x + 11 принимает среднее значение на отрезке [ 7; 7]. В случае нескольких значений x указать наименьшее значение. Ответ: -4
18.Указать пределы интегрирования при вычислении площади фигуры, ограниченной линиями y = 15 2x è y = x2. Ответ записать в виде [a; b].
Ответ: [ 5; 3]
19.Найти площадь области, ограниченной линиями y = 25 + 8x 3x2 è y = 2x + 1. Ответ: 108
20.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
|
x = 0; x = 3; y = ecos(x) sin(x) + 4; |
y = ecos(x) sin(x) + 3. |
|||
|
Ответ: 3 |
∫ |
|
∫ |
|
|
Ответ: 5.5 |
|
|
||
|
|
∞ |
|
∞ |
|
21. |
Вычислить |
f(2x)dx; если известно, что |
f(x)dx = 11. |
||
|
|
0 |
|
0 |
∫ |
|
Ответ: 5.5 |
∫ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
22. |
Вычислить |
f(2x)dx, если известно, что |
f(x)dx = 11. |
||
|
|
−∞ |
∫ |
−∞ |
|
|
Ответ: 11 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
23. |
Чему равен интеграл |
f(11x)dx; åñëè |
f(x)dx = 121? |
||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
Ответ: -2.5 |
|
∫ |
∫ |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
24. |
Чему равен интеграл |
f(2x)dx, åñëè |
f(x)dx = 5? |
||
|
|
|
−∞ |
−∞ |
|
25.Дан интеграл ∫1∞ f(x)dx; x13 f(x) x12 : Укажите правильный ответ
этот интеграл сходится
этот интеграл расходится
по этим данным установить сходимость интеграла установить невозможно.
26. Дан интеграл |
1 f(x)dx; |
1 |
|
|
f(x) |
|
1 |
: Укажите правильный ответ |
||
5 |
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
∫0 |
√x |
|
√x |
|
|||||
этот интеграл сходится
этот интеграл расходится
по этим данным установить сходимость интеграла установить невозможно.
3
|
∫ |
|
|
|
3 |
x+3 |
|
27. Дан интеграл |
1 |
x2−10x+21 |
dx: Укажите верное утверждение |
Этот интеграл - несобственный расходящийся
Этот интеграл - несобственный сходящийся
Этот интеграл определенный
∫ |
|
− |
|
|
12 |
|
x+5 |
|
|
28. Дан интеграл |
4 |
|
|
dx. Укажите верное утверждение |
10 |
√x2 |
|
11x+24 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Этот интеграл определенный
Этот интеграл - несобственный расходящийся
Этот интеграл - несобственный сходящийся
∫ |
|
|
− |
|
|
2 |
|
x+8 |
|
||
29. Дан интеграл |
4 |
|
|
|
dx. Укажите верное утверждение |
0 |
√x2 |
|
9x+14 |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Этот интеграл - несобственный сходящийся
Этот интеграл определенный
Этот интеграл - несобственный расходящийся
∫1
x+3
30. Дан интеграл 0 (x2−6x+5)3 dx. Укажите верное утверждение
Этот интеграл - несобственный расходящийся
Этот интеграл определенный
Этот интеграл - несобственный сходящийся
∫ |
|
− |
|
|
12 |
|
x+5 |
|
|
31. Дан интеграл |
5 |
|
|
dx. Укажите верное утверждение |
10 |
√x2 |
|
11x+24 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Этот интеграл определенный
Этот интеграл - несобственный расходящийся
Этот интеграл - несобственный сходящийся
∫ |
|
|
− |
|
|
2 |
|
x+1 |
|
||
32. Дан интеграл |
3 |
|
|
|
dx |
0 |
√x2 |
|
8x+12 |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
.Укажите верное утверждение
Этот интеграл - несобственный сходящийся
Этот интеграл определенный
Этот интеграл - несобственный расходящийся
Похожие между собой вопросы, например, 21-27, можно объединять в блоки. Система случайным образом выдает студенту один вопрос из блока.
4