16. Система Мак-Элиса

_________________________________1

__________________________________2

17-18. Задача декодирования линейных кодов - труднорешаемая задача

19. Атака на систему Мак-Элиса

20. Построение конечной проективной плоскости

Инцидентностной структурой называется тройка множеств (P,L; I), где P ∩L = ∅, I⊂P×L.Элементымножества P и L называются точками и прямыми, соответственно, аI—отношением инцидентности. Инцидентностная структура называется конечной, если множества P и L, а, следовательно, и I являются конечными множествами.

Наиболее изученными видами инцидентностных структур являются конечные проективные

плоскости. Конечной проективной плоскостью P(2, n) порядка n называется инцидентностная

структура π = (P,L, I), удовлетворяющая следующим акcиомам:

P1 Для любых двух различных точек P и Q существует единственная прямая lтакая, чтоPIl

и Q I l.

21. Код для защиты от подлога

22. Цифровая подпись Эль-Гамаля

Подпись сообщений

Для подписи сообщения выполняются следующие операции:

1. Вычисляется дайджест сообщения:

2. Выбирается случайное число взаимно простое си вычисляется

3. Вычисляется число .

4. Подписью сообщения является пара.

Проверка подписи

Зная открытый ключ , подписьсообщенияпроверяется следующим образом:

1. Проверяется выполнимость условий: и. Если хотя бы одно из них не выполняется,то подпись считается неверной.

2. Вычисляется дайджест

3. Подпись считается верной, если выполняется сравнение:

23. Задача дискретного логарифмирования

Задача дискретного логарифмирования заключается в том, чтобы по данным целым ,,решить уравнение:

где и—взаимно просты (примечание: если они не взаимно просты, то описанный ниже алгоритм является некорректным; хотя, предположительно, его можно модифицировать, чтобы он по-прежнему работал).

Здесь описан алгоритм, известный как "baby-step-giant-step algorithm", предложенный Шэнксом (Shanks) в 1971 г., работающий за время за . Часто этот алгоритм просто называют алгоритмом"meet-in-the-middle" (потому что это одно из классических применений техники "meet-in-the-middle": "разделение задачи пополам").

Алгоритм

Итак, мы имеем уравнение:

где ивзаимно просты.

Преобразуем уравнение. Положим

где — это заранее выбранная константа (как её выбирать в зависимости от, мы поймём чуть позже). Иногданазывают "giant step" (поскольку увеличение его на единицу увеличиваетсразу на), а в противоположность ему— "baby step".

Очевидно, что любое (из промежутка— понятно, что такого диапазона значений будет достаточно) можно представить в такой форме, причём для этого будет достаточно значений:

Тогда уравнение принимает вид:

откуда, пользуясь тем, что ивзаимно просты, получаем:

Чтобы решить исходное уравнение, нужно найти соответствующие значения и, чтобы значения левой и правой частей совпали. Иначе говоря, надо решить уравнение:

Эта задача решается с помощью метода meet-in-the-middle следующим образом. Первая фаза алгоритма: посчитаем значения функции для всех значений аргумента, и отсортируем эти значения. Вторая фаза алгоритма: будем перебирать значение второй переменной, вычислять вторую функцию, и искать это значение среди предвычисленных значений первой функции с помощью бинарного поиска.