3. Согласованная фильтрация

Оптимальное правило формирования статистики проверки простых гипотез описывается интегральным уравнением

(6)

называемым также уравнением согласованной фильтрации ядрокоторого– функция корреляции шума, правая часть – обнаруживаемый сигнал. Решение уравнения определяет статистику

(7)

обладающую свойством

(8)

Математическое ожидание статистики (7)

дисперсия статистики

(9)

Дисперсия и математическое ожидание имеют различные размерности. Здесь равенство дисперсии статистики её математическому ожиданию объясняется безразмерностью интегральных уравнений Фредгольма.

Исходя из уравнения (8) и (9) можно определить величину отношение сигнал-шумкак

Тогда определим статистику (7) как

Статистика (7) формируется на выходе согласованного фильтра – линейного фильтра с весовой функцией

Действительно, сигнал на выходе согласованного фильтра

в момент окончания сигналаравен

Статистика (7) сравнивается с критическим уровнем и припринимается решение в пользу гипотезы

В дискретном временном пространстве уравнение согласованной фильтрации (6) записывается

(10)

B– корреляционная матрица,H– решающий вектор,S– вектор сигнала.

Следует отметить, что интегральное уравнение (6) удаётся решить лишь в некоторых случаях, тогда как уравнение (10) всегда:

Статистика аналогично (7) определяется произведением

. (11)

Как и в непрерывном случае, вследствие линейности процедуры (11)

,

. (12)

Свойства (12) дискретного согласованного фильтра аналогичны свойствам (8) согласованного фильтра. Дискретный согласованный фильтр полностью описывается рабочей характеристикой.

4. Рабочая характеристика

Нормальная плотность распределения статистики (7) или (11) при гипотезах иотличается только математическими ожиданиями (рис. 5).

Рис. 5 – Разбиение плотностей значений критическим значением

Критическое значение определяет вероятности ложной тревоги

и обнаружения

Перемещая точку по осиможно получить зависимость

-

- рабочую характеристику обнаружителя:

(13)

Из (13) следует, на первый взгляд, парадоксальный вывод о том, что при фиксированной вероятности Fс увеличением с.к.о. статистики(дисперсии) растёт вероятность обнаруженияD. Если же учесть особенность согласованного фильтра (12) – равенство отношения сигнал–шумдисперсии статистикито запись (13) в виде

вопросов не вызывает.

На рис. 6 показаны рабочие характеристики (13) для отношений сигнал–шум Рабочие характеристики определяются только значениеми не зависят от вида сигнала – непрерывного или дискретного.

Рис. 5 – Рабочая характеристика

Чем выше крутизна рабочей характеристики на начальном участке, тем выше качество обнаружения. В свою очередь, крутизна рабочей характеристики тем больше, чем больше отношение сигнал - шум (по мощности)

,

характеризующее относительный сдвиг плотностей распределения статистики при различных гипотезах.

Пример 2. Треугольный сигнал длительностью амплитудойв шуме с функцией корреляциидискретизируется с интервалом.

Рис. 6 – Входной сигнал, функция корреляции шума

При амплитуде сигнала распределение плотностей вероятности выглядит следующим образом:

Рис. 7 – Распределение плотностей вероятности

Отношение сигнал-шум

Рабочая характеристика линейного обнаружителя

Рис. 8 – Рабочая характеристика

При сигнала распределение плотностей вероятности выглядит следующим образом:

Рис. 9 – Распределение плотностей вероятности (А=1)

Отношение сигнал-шум

Так как рабочая характеристика линейного обнаружителя на начальном участке выше – выше качество обнаружения.

Рис. 8 – Рабочая характеристика (А=1)

2. ГЕНЕРИРОВАНИЕ ШУМА МЕТОДОМ СКОЛЬЗЯЩЕГО СУММИРОВАНИЯ

   1. Уравнение генератора

Дискретные значения моделируемого процесса формируются в виде скользящей суммы

(15)

с весовыми коэффициентами . Существует ряд способов определения . Один из них основан на применении интеграла свертки

(16)

где  - нормированный белый шум;  - весовая функция формирующего фильтра.

Функция  определяется формулой

(17)

Формирующий фильтр с весовой функцией (17) имеет вещественную частотную характеристику 

Соответствующая весовая функция (17) четна, поэтому непрерывный линейный фильтр с такой весовой функцией физически не реализуем. Однако это свойство не является препятствием для цифрового моделирования. Дискретизация интеграла (16) с шагом  дает следующие значения весовых коэффициентов:

Значения  вычисляются, как правило, с помощью численных методов. При этом бесконечный верхний предел интегрирования в формуле (17) заменяют на конечный. Генерируемая последовательность  имеет функцию корреляции, равную

(18)

Истинная функция корреляции имеет вид

(19)

Функция  является интегральной суммой для интеграла (19). При условиях ,  функция корреляции последовательности  стремится  к требуемой . Контроль правильности вычисления  и выбора числа членов  осуществляется путем расчета по формуле (18) функции  и сравнением ее с требуемой функцией корреляции. Поскольку последовательность (15) является гауссовской, то близость функций   и  означает близость заданного и моделируемого процессов на уровне конечномерных распределений.  Метод скользящего суммирования пригоден для моделирования гауссовских процессов с произвольными спектральными плотностями.