4. Модифицированный метод Ньютона

Рассмотренный выше метод Ньютона требует вычисления производной на каждом шаге. В некоторых случаях это может существенно снизить эффективность метода (в смысле затрат машинного времени). Поэтому в тех случаях, когда вычисление производной сопряжено с существенными затратами машинного времени, используют модифицированный метод Ньютона, в котором производная вычисляется только в точке начального приближения :

. (2.19)

5. Метод секущих

Еще одна модификация метода Ньютона связана с приближенным вычисление производной в окрестности точки по формуле

.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона (2.15), приходим к формуле

, , (2.20)

которая определяет метод секущих. Название метода связано с его геометрической интерпретацией (см. рис. 2.10). Секущая, проведенная через точки и , пересекает ось абсцисс в точке , значение которой определяется формулой (2.20).

Для того, чтобы начать итерационный процесс в методе секущих необходимо задать два начальных приближения: нулевое и первое . На практике, как правило, поступают следующим образом: нулевое приближение выбирают аналогично выбору начального приближения в методе Ньютона, а в качестве первого приближения выбирают величину , гдеe– заданная погрешность. Эти значения используются для нахождения последующего (второго) приближения по формуле (2.20). Затем, значения и используют для определения третьего приближения и т.д. Альтернативно, в качестве нулевого и первого приближений могут быть выбраны границы отрезка локализации корня, если они известны. В этом случае первая итерация метода секущий даст результат, аналогичный методу хорд. Для завершения итерационного процесса можно воспользоваться условием (2.14).

Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако он не требует вычисления производной и поэтому оказывается особенно полезным в тех случаях, когда получение аналитического выражения для производной затруднено или невозможно, например, если функции получена в ходе численных расчетов, а не задана аналитически.

По алгоритму метод секущих близок к методу хорд, однако в отличие от последнего начальные приближения в методе секущих могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны; кроме того при уточнении корня не проверяются знаки функции .

6. Метод простых итераций

Теперь рассмотрим более общий итерационный метод уточнения корней. Представим исходное уравнение в виде

. (2.21)

О том как преобразовать исходное уравнение к виду (2.21) буден рассказано ниже.

Пусть нам известно начальное приближение к корню (). Подставив его в правую часть уравнения (2.21) получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и так далее,

, . (2.22)

Оказывается, что при определенных свойствах функции последовательность , определяемая по формуле (2.22), сходится к корню уравнения . Необходимо установить при каких условиях итерационный процесс (2.22) будет сходящимся.

Приложение 2