2. Временная фиксация

Специфика задачи пересечения в том, что в общем случае, если не ограничивать корреляционные свойства пересекающего случайного процесса, на ограниченном интервале может произойти множество пересечений (теоретически бесконечное), из которых необходимо выбрать именно первое. В реальных системах ограничение существует, и связано оно с их инерционностью. Любая реальная система работает в конечной полосе частот, следовательно, сигналы в такой системе ограничены по крутизне (ограничена скорость их флюктуаций). Полоса частот в импульсных системах обычно назначается такой, чтобы обеспечивались минимальные искажения формы импульсных сигналов, что достигается при достаточно крутых фронтах. Ограниченность полосы частот системы приводит к соответствующей инерционности шума – случайные флюктуации не могут быть слишком быстрыми, то есть их максимальная крутизна сопоставима с крутизной фронтов сигнала.

При временной фиксации переднего фронта необходимо фиксировать время первого пересечения сигналом уровняснизу вверх, при фиксации заднего фронта – пересечения сверху вниз (рис. 1):

, . (1)

Основная модель шума в радиоэлектронике:

, ,

то есть неравенства (1) для стационарного нормального шума можно записать (рис. 3)

, . (2)

Рис. 3. Временная фиксация сигнала

На рис. 3-а показан сигнал (кривая 1), уровеньи точки,пересечения переднего и заднего фронтов с уровнем, соответствующие неравенствам (1). На рис.3-б, соответствующем неравенствам (2), суммапоказана кривой 2, точки,положения не меняют. Здесь уровень- среднее значение случайной траектории. Иными словами временная фиксация регистрирует моменты пересечения переднего фронта траекторией

сверху вниз, заднего фронта – снизу вверх.

Рис. 3 имеет иллюстративный характер, так как сигналы, формируемые реальными системами, несимметричны. Например [2], если на входе колебательного звена с весовой функцией

(3)

прямоугольный сигнал длительности , маскируемый белым шумом, то на выходе звена шум с функцией корреляции

(4)

сигнал

(5)

. На рис. 4 показаны прямоугольный сигнал длительности с амплитудойна входе звена с параметрами, сигнал (3) на выходе звена (кривая 2), а также производная сигнала (кривая 3)

. Можно заметить, что крутизна переднего фронта достигает максимума при(на уровне).

Рис. 4. Сигнал, производная сигнала

Моделирование пересечений линейного уровня гауссовыми траекториями с функцией корреляции (4) даёт следующие результаты.

На рис. 5 показано пересечение двумя реализациями траекторий с дисперсией уровня с крутизной. Пересечения сверху вниз неоднократные: траектория 1 пересекает уровень трижды, траектория 2 – дважды.

Рис. 5. Пересечение уровня с крутизной

Увеличение крутизны уровня до уменьшает число пересечений. Реализации, показанные на рис. 6, дают однократные пересечения.

Рис. 6. Пересечение уровня с крутизной

Результаты регистрации зависимости числа пересечений от крутизны линейного уровня (всеготраекторий) приведены в табл.1.

Табл.1

Крутизна уровня	Число пересечений					Всего пересеч.
	1	2	3	4	5
2	343	545	105	7	0	1776
10	989	11	0	0	0	1011
15	998	2	0	0	0	1002
20	1000	0	0	0	0	1000

Таким образом, траектории с функцией корреляции (4) пересекают линейные уровни с крутизной один раз. Аналогичные результаты можно получить для пересечения снизу вверх (имитация пересечения заднего фронта импульса) и других корреляционных свойств (описывающих инерционность) пересекающих траекторий, а также для других типовых звеньев, например, фильров нижних частот.

Однократность пересечения фронтов реальных импульсных сигналов позволяет классическую задачу поиска закона распределения времени первого пересечения сформулировать иначе: достаточно найти закон распределения времени пересечения (возможно, неоднократного) – практически он будет описывать первое пересечение.