2. Порядок выполнения работы

1. В соответствии с заданием решается уравнение дискретной согласованной фильтрации (7).

2. Генерируются массивы векторов иразмерностью= 5 - 9, объемом N1000.

3. Вычисляются массивы значений статистики (9) при гипотезах и.

4. Строятся гистограммы статистики при гипотезах и.

5. Строятся рабочие характеристики для нескольких значений отношения сигнал - шум.

6. Рассчитываются значения (3) критических уровней при различных вариантах матрицы стоимостей и априорных вероятностей.

3. Содержание отчета

Результаты по пунктам 1 - 6 разд. 2.

4. Контрольные вопросы

1. Получите соотношения (10).

2. Как следует строить гистограммы (пункт 4 содержания отчета) ?

3. В каких случаях решение (8) становится некорректным ?

4. Какова минимальная вероятность обнаружения ?

5. Имеют ли размерность величины из соотношения (10) ?

6. Решите задачу дискретной согласованной фильтрации для - коррелированного шума.

7. Запишите отношение правдоподобия (3) для гауссовых статистик.

8. Каково решение задачи проверки простых гипотез, если сигнал имеет форму собственной функции ядра интегрального уравнения (4)?

9. Каково решение задачи дискретной согласованной фильтрации, если сигнал задан в виде собственного вектора матрицы рассеяния ?

10. Может ли согласованный фильтр использоваться как измеритель времени прихода сигнала ?

Список литературы

1. Ивченко Г.И. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1984. – 248

с.

2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М. : Сов. радио, 1966. – 678 с.

3. Хелстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. - М.: ИИЛ, 1963.

- 431 с

Лабораторная работа № 4

ОПТИМИЗАЦИЯ ОБНАРУЖЕНИЯ

ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА

Цель работы: оценка потенциальной эффективности обнаружения импульсного сигнала.

1. Методические указания

Уравнения согласованной фильтрации (4) и (7), а также отношение сигнал – шум (6) и (10) из предыдущей лабораторной работы показывают, что эффективность обнаружения зависит от корреляционных свойств шума и формы сигнала. Возникает вопрос о существовании сигнала с оптимальной формой , максимизирующего отношение сигнал – шумпри конкретных свойствах шума [1]. Если такой сигнал существует, появляется возможность повышения эффективности обнаружения по сравнению с применением сигнала произвольной формы.

1. Сигналы непрерывного времени

Пусть задан сигнал, совпадающий по форме с собственной функцией ,, однородного интегрального уравнения Фредгольма

, (1)

то есть

. (2)

Собственные функции ортонормированны, энергия любой из них

,

следовательно, энергия сигнала (2) . Подстановка сигнала (2) в уравнение согласованной фильтрации (4)

,

(3)

и обозначение выражения в фигурных скобках

приводит уравнение (3) к уравнению (1). Следовательно, уравнение согласованной фильтрации в этом случае имеет решение

,

а отношение сигнал – шум

. (4)

Собственные значения уравнения (1) уменьшаются с ростом индекса:

,

иными словами, при. Теоретически в соответствии с (4) это означает, что увеличивая в (2) номер, можно сколь угодно увеличивать отношение сигнал – шум (4) при коечных значениях энергии сигнала и мощности шума [1].

Казалось бы, этот результат опровергает классическую теорию обнаружения. Однако, на практике этот предельный результат недостижим по меньшей мере по двум причинам:

1) методы решения уравнения (1) неизвестны, поэтому собственные функции точно не известны;

2) численные методы решения уравнения (1) показывают, что собственные функции с ростом индекса осциллируют всё быстрее, то есть требуют всё бо’льшую полосу частот; максимальное значение , которое может обеспечить современная радиоэлектроника, для типовых функций корреляции не настолько велико, чтобы произошёл заметный рост эффективности обнаружения.

2. Дискретные сигналы

В пространстве дискретного времени функция корреляции трансформируется в корреляционную матрицу, для которой справедливо сингулярное разложение (дискретный аналог уравнения (1))

,

в котором - матрица ортонормированных собственных векторов,- матрица собственных значений корреляционной матрицы. Уравнение дискретной согласованной фильтрации

с решением

обеспечивает отношение сигнал – шум

.

В отличие от непрерывного случая число собственных векторов и значений конечно – равно размерности корреляционной матрицы. Каждому собственному значениюсоответствует собственный вектор,. Обычно при вычисленияхMatlab – функцией EIG минимальное собственное значение ,

.

Если задан сигнал ,- амплитуда сигнала, достигается максимальное отношение сигнал – шум

. (5)

Минимальное собственное значение при неравномерной дискретизации сигнала может быть значительно уменьшено [2]. Неравномерность дискретизации достигается смещением одного из отсчётов.

Пример 1. На промежутке с интерваломзаданы значения функции корреляции

.

Второй отсчёт () смещается с интерваломот точкидо точки. В каждом положении рассчитываются корреляционная матрица и её минимальное собственное значение (рис. 1).

Рис.1. Зависимость от положения второго отсчёта

Так как все собственные значения корреляционной матрицы положительны, интервал запрещён для размещения второго отсчёта.В точке минимальное собственное значение , следовательно, если задать , будет достигнуто бесконечное отношение сигнал – шум (5). Однако, для этого надо точно знать корреляционные свойства шума, чего на практике добиться невозможно. Поэтому ищется ближайшее кзначение числовой оси, на которой рассчитываются значения , и второй отсчёт размещается в этой точке ().

При равномерной дискретизации () , при неравномерной дискретизации () , что позволяет увеличить отношениесигнал – шум в раза (отдо).

Оптимальные сигналы, форма которых определяется собственным вектором, соответствующим (рис. 2), различаются незначительно, что подчёркивает роль формы сигнала в задаче обнаружения.

Рис. 2. Оптимальные сигналы при равномерной и неравномерной дискретизации

Программа, реализующая вышесказанное:

dt=0.2; T=1.4

t=0:dt:T;

n=length(t)

ddt=0.01 % интервал дискр. при расчёте минимальн. собств. зн.

nn=38 % число расчётных значений

for k=1:nn

t(2)=k*ddt; % смещёние второго отсчёта

r=exp(-t).*cos(pi*t);

for i=1:n

for j=1:n

b(i,j)=r(abs(i-j)+1);

end

end

B=b; % корреляционная матрица

[u,v]=eig(B);

vm(k)=v(1,1)

end

V=vm % минимальное собственное значение

tt=ddt:ddt:ddt*nn

plot(tt,V,tt,zeros(1,nn)) % зависимость V от смещения второго отсчёта

pause

% равномерная дискретизация

K=20

t(2)=K*ddt;

r=exp(-t).*cos(pi*t);

for i=1:n

for j=1:n

b(i,j)=r(abs(i-j)+1);

end

end

B=b;

[u,v]=eig(B)

s=u(:,1) % оптимальный сигнал

subplot(2,1,1),plot(t,s,'--')

hold on

stem(t,s)

lar=v(1,1) % минимальное собственное значение

pause

% неравномерная дискретизация

k=find(V>=0) % положительные смещения

K=min(k) % минимальное положительное смещение

t(2)=K*ddt; % смещёние второго отсчёта, ближайшее к t0

r=exp(-t).*cos(pi*t);

for i=1:n

for j=1:n

b(i,j)=r(abs(i-j)+1);

end

end

B=b; % корреляционная матрица при смещении

[u,v]=eig(B)

sm=u(:,1) % оптимальный сигнал

lan=v(1,1) % минимальное собственное значение

subplot(2,1,2),plot(t,s,'--')

hold on

stem(t,s)

dr2=1/lar % отношение сигнал - шум dr2 = 8.6299

dn2=1/lan % отношение сигнал - шум dn2 = 28.0402

m=lar/lan % m = 3.2492 - преимущество неравномерной дискретизаци

Варианты задания

Используется функция корреляции из предыдцщих лабораторных работ. Номер смещаемого отсчёта задаётся преподавателем.

2. Порядок выполнения работы

Полностью определяется приведённой Matlab – программой.