1.2. Критерии проверки гипотез

Проверка гипотез, как любая задача математической статистики, предполагает ее оптимальное решение. Понятие оптимальности включает и правило формирования линейной статистики, и правило назначения критического уровня . Первое связано с максимизацией крутизны рабочей характеристики, второе - с выбором рабочей точки, то есть с назначением критического уровня.

Пусть заданы априорные вероятности гипотез ии матрица стоимости решений

= ,

- стоимость принятия решения в пользу гипотезы при правильной гипотезе(,- стоимость правильных решений;- стоимость ложной тревоги,- стоимость пропуска сигнала). Средняя стоимость решения равна

.

Критерий (правило) Байеса (минимума среднего риска) предписывает выбор рабочей точки, минимизирующей среднюю стоимость [2]. Минимум среднего риска достигается, если решение в пользу гипотезы принимается при условии

, (3)

в котором - отношение правдоподобия,- критический уровень. Например, в двоичном симметричном канале:

- вероятности ошибок ;

- априорные вероятности == 0,5;

- стоимости решений =,=, можно положить= 0,=1;

тогда , минимум среднего риска обеспечивается минимумом вероятности ошибки при значении критических уровней=1,(рис.2).

Альтернативный критерий Неймана - Пирсона [1,2] применяется, если априорные вероятности и стоимости решений неизвестны, напри-

мер, в радиолокации. Критерий Неймана - Пирсона предписывает при заданном значении вероятности ложной тревоги максимизировать вероятность обнаружения. Обычно значениязадаются близкими к нулю, так что по критерию Неймана - Пирсона лучше тот обнаружитель, рабочая характеристика которого круче в окрестности.

Следует отметить, что при обнаружении полностью известного сигнала в аддитивном гауссовом шуме вероятности исвязаны функционально, и максимизация вероятности обнаружения теряет смысл. Критерий Неймана - Пирсона применяется в более сложных случаях.

1.3. Согласованная фильтрация.

Оптимальное правило формирования статистики проверки простых гипотез описывается интегральным уравнением [3]

, (4)

называемым также уравнением согласованной фильтрации. Решение уравнения определяет статистику

, (5)

обладающую свойством

.

Следовательно, отношение сигнал - шум для статистики равно

. (6)

Согласованный фильтр - линейный фильтр с весовой функцией

.

Выходное напряжение согласованного фильтра

в момент окончания сигнала () равно статистике (5).

Согласованный фильтр обеспечивает максимальное отношение сигнал - шум, следовательно, оптимален по критерию Неймана - Пирсона.

1.4. Дискретная согласованная фильтрация.

В дискретном временном пространстве уравнение согласованной фильтрации (4) записывается

, (7)

- корреляционная матрица, - решающий вектор,- вектор сигнала. Уравнение (7) имеет решение всегда, так как матрица рассеяния невырожденная:

. (8)

Статистика аналогично (5) определяется произведением

. (9)

Как и в непрерывном случае, вследствие линейности процедуры (9)

, ;

,

. (10)

Свойства (10) дискретного согласованного фильтра аналогичны свойствам (6) согласованного фильтра. Дискретный согласованный фильтр полностью описывается рабочей характеристикой.