3. - Статистика Пирсона

Если наблюдения действительно описываются законом распределения с плотностью, то значения гистограммыдолжны быть близки к вероятностям(табл. 1), так как- оптимальные оценки вероятностей. Мера близости реального и гипотетического массива наблюдений может быть некоторой функцией разностей. Как и все МП – оценки, оценкаасимптотически нормальна, следовательно, величинытакже распределены по нормальному законуc нyлeвыми средними значениями. Сумма их квадратов имеет распределение вида - распределения. Строгая статистика проверки гипотезы о законе распределения случайной величины введена К. Пирсоном [1]:

. (4)

Если гипотеза правильна, статистика - распределена по законусстепенями свободы [1,2],- число оцениваемых параметров.

Логика проверки гипотезы такова: если гипотеза правильна, с вероятностью

полученное значение статистики ; если получена, гипотезу следует отвергнуть, так как при правильной гипотезе такое большое значение статистики маловероятно (). Обычно критическая вероятность задается равной. Правило Пирсона применимо при,[1]. КвантильвычисляетсяMATLAB - функцией CHI2INV(P,n-1-L).

Пример 2. Проверить гипотезу нормальности массива , формируемого фун-кциейRANDN, при. Диапазон значенийразбить на 12 интервалов, вероятность.

Задана ширина интервала разбиения , середины интервалов – точки.MATLAB - программа

N=500

n=12

x=randn(1,N); % массив наблюдений

del=0.5

tt=-2.75:del:2.75 % середины интервалов

h=hist(x,tt)/N % гистограмма

H=sum(h)

m=mean(x) % оценка м.о.

si=std(x) % оценка с.к.о.

в одном из экспериментов дает значения гистограммы (табл.2) и оценки,. Теперь гипотезу можно конкретизировать:. Продолжение программы:

ttt=-3:0.5:3 % ось узлов отсчетов функции распределения

F=normcdf(ttt,m,si) % функция распределения

dF=diff(F) % гипотетические вероятности попадания в интервалы

P=sum(dF)

Приращения функцииесть вероятности, (табл. 2).

табл. 2

	0.004	0.015	0.044	0.097	0.161	0.204	0.197	0.145	0.081	0.035	0.011
	0.002	0.026	0.032	0.112	0.156	0.210	0.190	0.128	0.088	0.044	0.012

На рис. 3 показаны нормальная плотность с ,(рис. 1-1) и гипотетическая плотность си(рис. 1-2). Заметно смещение наблюдений (), фиксируемое в формулировке гипотезы.

Рис.3. Гипотетическая плотность

Далее изображаются гистограмма и гипотетическая плотность (рис.4), рассчитывается статистика проверки гипотезы, показывающая отсутствие оснований отвергнуть гипотезу нормальности наблюдений с,.

bar(tt,h)

hold on

plot(tt,dF)

stem(tt,dF)

s=0

for j=1:n

s=s+(h(j)-dF(j))^2/dF(j);

end

hi2=N*s % статистика

hi20=chi2inv(0.95,9) % критический уровень статистики

Рис. 4. Нормальная плотность и гистограмма