3. Приближённое решение задачи пересечений

Плотность распределения времени пересечения (возможно, неоднократного) уровня стационарным гауссовым процессомс единичной дисперсией

получена в [2]:

(6)

При оценивании времени прихода импульсного сигнала методом временной фиксации уровень - передний или задний фронт. Фиксация переднего фронта предполагает регистрацию пересечений сверху вниз, заднего фронта - регистрацию пересечений снизу вверх. В первом случае производная, во втором

. При крутизне фронта плотность (6) практически описывает первое пересечение.

Пример.1. На входе колебательного звена белый шум с единичной дисперсией и прямоугольный сигнал длительностью с амплитудойотношение сигнал – шумНормированная весовая функция звена

( собственная частота Гц). Функция корреляции шума

(7)

определяет сигнал на выходе фильтра (рис. 7-а).

(8)

На рис. 7-б показана производная сигнала (обозначенная SS)

Эти расчеты примера выполняются программой

Ampl=5 % амплитуда сигнала

a=5;b=2*pi

dt=0.01

T=1 % длительность сигнала

t=0:dt:T; % ось абсцисс для переднего фронта

tt=0:dt:2*T; % ось абсцисс для всего сигнала

ttt=T:dt:2*T; % ось абсцисс для заднего фронта

n=length(t)

nn=length(tt)

r=exp(-a*t).*(cos(b*t)+a/b*sin(b*t));

R=exp(-a*tt).*(cos(b*tt)+a/b*sin(b*tt)); % функция корреляции

s=Ampl*(1-r); % передний фронт сигнала

S=Ampl*(1-R);

ss=zeros(1,nn);

ss(1:nn)=S(1:nn);

ss(n+1:nn)=ss(n+1:nn)-ss(1:n-1) % сигнал

s1=ss(n:nn); % задний фронт сигнала

% производная сигнала (5.3)

spr1=exp(-a*tt).*sin(b*tt)

spr2=-exp(-a*t).*sin(b*t)

spr3=zeros(1,nn);

spr3(n+1:nn)=spr2(1:n-1)

spr=Ampl*(a^2+b^2)/b*(spr1+spr3) % производная сигнала

subplot(2,1,1),plot(tt,ss) % рис. 7

subplot(2,1,2),plot(tt,spr)

pause

[n,Y,db]= gener(r,N,t) % генератор траекторий (файл – функция)

YY=Y+Ampl/2; % траектории шума с м.о. Ampl/2

size(YY)

% рис. 8-а

subplot(1,2,1),plot(t,s,t,YY(34,:),t,YY(321,:),t,YY(789,:),t,zeros(1,n),t,2.5*ones(1,n),'--')

% пересечение переднего фронта

% f - плотность распределения (6) времени первого пересечения сверху вниз

f=Ampl*(a^2+b^2)/b/sqrt(2*pi)*sin(b*t).*exp(-a*t-(s-Ampl/2).^2/2)

YY=Y+Ampl/2; % траектории шума с м.о. Ampl/2

s=Ampl*(1-r); % передний фронт сигнала

[IN,YY,N,NN]=ind(s,YY,dt); % индикатор пересечений (файл – функция)

dtt=0.05;T1=0;T2=1

[tt,h,NN,tc]=cro1(IN,dt,dtt,T1,T2) % гистограмма врем. первого пересечения (файл – функция)

subplot(1,2,2),stem(tt,h/dtt) % рис. 8-б

hold

plot(t,f,'r',th,ff)

mt=mean(tc) % оценка среднего

si2=var(tc) % оценка дисперсии

Время прихода сигнала измеряется методом временной фиксации по уровнюВремя прихода в соответствии с (2) фиксируется как время пересечения траекториис передним или задним фронтом сигнала. На рис. 8-а показано пересечение трех траекторий стационарного шума с функцией корреляции (7) и переднего фронта сигнала (8).

Рис. 7. Сигнал, производная сигнала.

Рис. 8. Пересечение переднего фронта сигнала

Моделирование пересечений включает регистрацию пересечений траекторий шума с уровнем(передним фронтом сигнала), выделение первого из них (сверху вниз), построение гистограммывремени первого пересечения. Экспериментальные результаты (гистограмма) сопоставляются с теоретической плотностью распределения (6)

(9)

Результаты приведены на рис. 8-б: гистограмма (функция STEM), плотность распределения (9) – кривая 1. Распределение времени пересечения с передним фронтом отлично от нормального распределения (1). Из траекторий в типичном эксперименте пересеклись с фронтомТипичные оценки среднего времени пересечениядисперсии

Исходное время прихода сигнала по переднему фронту в этом примере равно (передний фронт входного прямоугольного сигнала). Смещение фронта в резонансном согласованном фильтре по уровнюсоставляет- интервал дискретизации, (равенствовыполняется при при). Таким образом, оценку времени прихода сигналаможно считать практически несмещенной.

Дисперсия шума крутизна переднего фронта сигнала в точке пересечения с уровнемравначто нетрудно выяснить по результатам расчёта производнойspr сигнала.

Теоретическая плотность распределения настолько близка к гистограмме, что проверка по критерию не даёт оснований отвергнуть гипотезу о принадлежности выборки времени пересечения (NN значений) генеральной совокупности с плотностью распределения (9).

В программе использованы файл – функции :

function [n,Y,db]= gener(R,N,t)

% Генератор N траекторий длиной n отсчётов.

% На оси t задаются значения функции корреляции R.

% Вычисляется корреляционная матрица B, имеющая

% сингулярное разложение B=uy*vy*uy'.

% Функцией randn генерируется (N,n)- массив X отсчётов

% квазибелого шума с корреляционной матрицей bx.

% Оператор A перекрашивает массив X - возвращаются (N,n)- массив Y.

% Погрешности воспроизведения % корреляционных моментов

% возвращаются матрицей db.

% Литература:

% 1. Воробьев С.Н. Эффективное обнаружение детерминированных сигналов.

% – СПб.: СПбГУАП , 2003.

% 2. Воробьев С.Н., Осипов Л.А. Линейные системы. Расчет и моделирование. –

% СПб.: СПбГУАП, 2004.

%

n=length(t)

for i=1:n

for j=1:n

b(i,j)=R(abs(i-j)+1);

end

end

B=b; % заданная корреляционная матрица

[uy,vy]=eig(B);

X=randn(N,n); % массив квазибелого шума

bx=cov(X);

[u,v]=eig(bx);

A=uy*vy^(1/2)*uy'*u*v^(-1/2)*u'; % оператор перекрашивания

y=A*X';

Y=y'; % массив окрашенного шума

by=cov(Y);

db=B-by % погрешность воспроизведения заданных

% корреляционных свойств

function [I,YY,N,NN] = ind(U,Y,dt)

% Индикатор пересечений массива траекторий Y С уровнем U.

% Функция вычисляет производную знака разности Y-U.

% Уровень U - вектор - строка размером n значений.

% Массив траекторий Y - (Nxn) - матрица, dt- интервал дискретизации.

% Возвращаются матрица I(индикатор),(NNxn)- матрица траекторий YY,

% пересекающих уровень u, N - общее число траекторий,

% NN - число траекторий, пересекающих уровень u.

% См. также gener, hiis, cro1, cro2, levlo, levup, aphist, inthist

%

[N,n]=size(Y);

YU=zeros(N,n);

for i=1:n

YU(:,i)=U(i); % вспомогательный массив

end

YY=sign(Y-YU); % знак разности

for i=1:N

II(i,:)=diff(YY(i,:)); % производная знака разности

end

I=II; % индикатор пересечений

for i=1:N

nds=find(I(i,:)~=0); % пересечения нулевого уровня строкой - индикатором

Lds=length(nds); % число пересечений

if(Lds>0) % если было хотя бы одно пересечение

tc(i)=nds(1)*dt; % оценка времени первого пересечения

end

end

n0=find(tc==0); % номера непересекающих строк

Y(n0,:)=[]; % исключение траекторий, не пересекающих уровень

YY=Y;

[nn,mn]=size(YY);

NN=nn % число траекторий, пересекающих уровень u

function [th,h,NN,tc] = cro1(in,dt,dtt,T1,T2)

% Оценки времени первого пересечения по индикатору ind независимо от

% направления пересечения.

% [th,h,NN,nu] = cro1(in,dt,dtt,T) возвращает гистограмму h моментов tc>T1

% первого пересечения уровня на оси th, число NN пересекающих траекторий,

% массив nu оценок времени первого пересечения каждой из NN траекторий.

% Интервал dtt между узлами гистограммы задается. Задаются также

% границы T1,T2 интервала наблюдений in с шагом dt.

% Строка массива in (индикатор) - производная знака разности между

% пересекающей траекторией и уровнем.

% См. также gener, ind, hiis, cro2, levlo, levup, aphist, inthist.

%

[N,n]=size(in);

for i=1:N

nds=find(in(i,:)~=0); % пересечения нулевого уровня строкой - индикатором

Lds=length(nds); % число пересечений

if(Lds>0) % если было хотя бы одно пересечение

tc(i)=(nds(1)-1/2)*dt; % оценка времени первого пересечения

end

end

n0=find(tc==0); % номера непересекающих строк

tc(n0)=[] % исключение траекторий, не пересекающих уровень

tc=tc+T1; % оценки времени первого пересечения

NN=length(tc) % число пересекающих траекторий

thh=T1:dtt:T2

for i=1:length(thh)-1

tth(i)=(thh(i)+thh(i+1))/2; % середины интервалов гистограммы

end

th=tth

h=hist(tc,th)/NN % гистограмма, привязанная к серединам th интервалов

Их следует ввести в раздел системы.

Пример работы функции ind.

Рис. 9. Индикатор пересечений

Формируются короткие выбросы соответствующей полярности в точках пересечения

Пример 2. Амплитуда сигнала из предыдущего примера уменьшена до (рис. 10).Число траекторий, не пересекающих фронт сигнала, возрастает до нескольких десятков из Это означает, что вероятность пропуска сигнала возрастает до недопустимых значений, т. е. отношение сигнал – шум на входе измерителя должно быть достаточно велико. Наблюдаются неоднократные пересечения (рис. 10-а). Кроме того, расчет плотности распределения при слишком малых отношениях сигнал – шумнекорректен – крутизна фронта уменьшается так, что плотность становится отрицательной (рис. 10-б).

Рис. 10. Пересечение переднего фронта сигнала

Пример 3. Пересечение заднего фронта сигнала при отношении сигнал – шум показано на рис. 11.

Рис. 11. Пересечение заднего фронта сигнала