4.3.5. Минимаксный принцип

Если существование точного или приближенного равномерно наи­лучшего правила решения, оправдывающее задание более или менее произвольной меры , проблематично, а других оснований для за­даниянет, то разумным принципом предпочтения при выборе ре­шения является принцип минимакса, согласно которому правило реше­ния выбирается так, чтобы обеспечить

. (4.3.13)

Этот принцип гарантирует, что при всех P величина среднего риска для правила решения будет не больше величины, определяемой. выражением (4.3.13), то есть во всем диапазоне условий, характерном для данного уровня априорной неопределенности, средний риск не превысит величины (4.3.13).

Характерной и иногда неприятной особенностью минимаксного пра­вила решения является то, что для него средний риск может достигать своего максимума не в единственной точке , а на не­котором подмножестве P₁ множества P , а иногда и на всем множестве P . В связи с этим, вообще говоря, более предпочтительным может ока­заться выбор такого решения, для которого

и даже на некотором подмножестве множества P

,

но зато на остающейся части множества P

,

причем для многих P существенно меньше.

Вторая особенность минимаксного принципа - возможная неодно­значность в выборе правила решения . Вид поверхности , иллюстрирующий эту возможность, показан на рис. 4.3, где имеется целое множество минимаксных решений. Для выбора между ни­ми необходим дополнительный критерий, в качестве которого целесо­образно и удобно использовать критерий минимума усредненного риска (для сохранения гарантированного уровня риска (4.3.13) его минимиза­цию следует проводить по ).

Минимаксный принцип, в отличие от рассмотренных ранее, совсем не требует для устранения влияния апри­орной неопределенности привлечения каких-либо дополнительных сообра­жений (существования равномерно наилучшего правила решения, асимптотической сходимости, дополнитель­ной меры ), и в этом смысле он яв­ляется наиболее аккуратным, поскольку оперирует только непосред­ственно с основными данными задачи. Степень влияния априорной неопреде­ленности может быть оценена разницей между рисками минимаксного правила решения и байесова с изве­стным распределением, то есть величиной

. (4.3.14)

Если для всех P , где - заданная степень допусти­мого отклонения риска от риска абсолютно оптимального байесова пра­вила решения, то минимаксное правило решения вполне удовлетвори­тельно, а влияние априорной неопределенности на величину риска не превышает .

Рис. 4.3. Вид поверхности среднего риска для различных и P

4.4. Соотношения между правилами решения, полученными на основе различных принципов предпочтения

В § 4.3 по ходу рассмотрения уже отмечались некоторые соотноше­ния между правилами решения, следующими из того или иного принци­па предпочтения. Для более полного уяснения их относительного каче­ства рассмотрим ряд дополнительных соотношений. Заметим еще раз, что, конечно, самым хорошим является равномерно наилучшее правило решения, которое при любом Pдает такой же риск, как байесово правило решения с известным. Если равномерно наилучшее правило существует, то оно может быть найдено при использовании любого из рассмотренных принципов предпочтения.

Между минимаксиминным правилом решения и минимакс­ным правилом решения существует соотношение

, (4.4.1)

которое следует непосредственно из определения этих решений. Соотно­шение между ними показано на рис. 4.4. При 'некоторых риск минимаксиминного правила решения превышает риск минимаксного правила, а при некоторых - имеет меньшие значения.

Аналогичному соотношению удовлетворяет и правило решения , получаемое минимизацией усредненного риска при любой мере:

. (4.4.2)

Типичное поведение риска по отношению к риску минимакс­ного правила решения в зависимости от показано на рис. 4.4, где приведена также зависимость отминимального байесова риска, соответствующего известному .

В то же время правила решения иудовлетворяют при любой мересоотношению

, (4.4.3)

которое следует из определения правила решения . Равенство в (4.4.3) может достигаться только для наименее предпочтительной в со­ответствии с определением (4.3.10) меры. Из соотношений (4.4.2), (4.4.3) следует, что максимум риска поP для правила решения не меньше, чем для минимаксного, а усредненное значение риска не боль­ше. Особый интерес представляет слу­чай, когда в (4.4.2) достигается ра­венство, то есть риск правила решенияне превосходит риска минимаксного правила. При этом очевидно, что правилоравномерно относительнолучше (по крайней мере не хуже) минимаксного правила, и следует отдать ему предпочтение. Это обстоятельство является хорошим доводом в пользу принципа минимизации усредненного риска.

Рис. 4.4. Зависимость среднего риска от для различных правил решения:1 - байесово; 2 - минимаксное; 3 – минимаксиминное; 4 – минимизации усредненного риска