Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

[НА УДАЛЕНИЕ]

Файл:

КУРС лекций Электротехника, электронное / Курс лекций. Электротехника и электроника. РАЗДЕЛ 1. Электрические цепи

.pdf

Скачиваний:

2112

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

8.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Тригонометрическая форма

c = a ± jb =

cos γ ± j

sin γ

(21)

- модуль комплексного числа c ;

где

γ - аргумент комплексного числа

c .

Модуль комплексного числа

, определяется таким образом

+ b

(22)

Аргумент комплексного числа - γ , можно найти по выражению:

γ = arctg

(23)

Справедливы так же соотношения:

a =

cos γ ;

b =

sin γ .

(24)

Показательная форма

Известно, что c = a ± jb =

( cos γ ± j sin γ ) , но согласно формуле

sin γ = ε ± jγ ,

Эйлера:

cos γ ± j

где ε = 2,718281828... - основание

нату-

ральных логарифмов.

Поэтому можно записать комплексное число в следующей форме:

ɺ	= a ± jb =	ɺ	ε	± jγ	.	(25)
ɺ		ɺ		± jγ
c		c

Выражение (25) называется показательной формой записи комплекс- ного числа.

1.3.5.1 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

При использовании комплексных чисел, все законы и методы расче- та по форме не изменяются, но записываются в комплексном виде:

Закон Ома в символической форме:

Uɺ

;

U = ZI ; Z =

(26)

Первый закон Кирхгофа в символической форме

i =n

∑Iɺi

= 0 .

(27)

i =1

Второй закон Кирхгофа в символической форме

i =n

k =m

∑Eɺi

+ ∑Uɺk

= 0 .

(28)

i =1

k =1

Основным преимуществом символического метода является то, что геометрические действия над векторами заменяются алгебраическими дей- ствиями над комплексами, изображающими эти вектора.

Контрольные вопросы

1.Однофазный синусоидальный ток, получение однофазного тока, Период, частота, угловая скорость (определение, обозначение, аналитиче- ская связь между ними).

2.Основные соображения, по которым принят в промышленности переменный ток, изменяющийся по синусоидальной кривой.

3.Стандартная частота промышленного тока и причины, по кото- рым она выбрана.

4.Мгновенное значение переменного тока (определение, обозначе- ние, аналитические выражения и соответствующие графики).

5.Амплитудное значение переменного тока (определение и обозна-

чение).

6.Действующее значение переменного тока любой формы кривой и синусоидальной (определение, вывод формул).

Лекция 1.4 Идеализированные линейные элементы однофазных цепей синусоидального тока

План лекции

1)Идеальный активный элемент.

2)Идеальный индуктивный элемент.

3)Идеальный емкостный элемент.

1.4.1Идеальный активный элемент

Активное сопротивление в электрических схемах условно обознача-

	i	R	ется так, как показано на рисунке 1.
	i	R	Идеальным активным сопротивлением
			Идеальным активным сопротивлением
			R называется элемент цепи, в котором элек-

		ua
		ua	трическая энергия преобразуется в тепловую
			энергию или полезную механическую работу.
Рисунок 1 - Активное			Идеальный активный элемент не имеет ни
Рисунок 1 - Активное			магнитных, ни электрических полей. Поэто-
	сопротивление		магнитных, ни электрических полей. Поэто-
	сопротивление		му он не запасает внутри себя энергию.
			му он не запасает внутри себя энергию.
	Если по активному сопротивлению протекает синусоидальный пере-
менный ток i = Im sin ω t , то напряжение на нем будет
	ua = Ri = RI m sin ω t =U ma sinω t ,			(1)

где U ma = RI m - амплитуда активного напряжения.

Графики колебаний тока и напряжения на активном элементе и век- торная диаграмма, характеризующая данный элемент приведены на рисун- ке 2.

На идеальном активном элементе в любой момент времени напряже- ние, и ток совпадают по фазе, сдвиг фаз между ними равен нулю.

Мощность, потребляемая активным элементом от источника энер- гии, определится:

P	= u	i = RI	m	sinω t I	m	sinω t = RI	2	sin 2 ω t .	(2)
a	a		m		m		m

ua, i		Uma
Uma
Im	t	Im
	t	Im
0		ϕ = 0
		ϕ = 0
T

Рисунок 2 - Графики тока и напряжения на активном элементе

	47
Данное выражение определяет закон колебания мощности на актив-
ном элементе цепи. Активная мощность всегда положительна. График, ил-
люстрирующий выражение (2) показан на рисунке 3.
Pa	С энергетической точки зрения,
	положительная мощность, это мощ-

	ность, которая поступает из генератора
	в нагрузку, а отрицательная - та, кото-
	t рая возвращается обратно в генератор.
0	В активном сопротивлении транспорт
	энергии односторонний. Односторон-
T
	ний транспорт	энергии	обеспечивает

Рисунок 3 - График колебания	самую большую	пропускную способ-
мощности на активном	ность проводов электрических линий,
	следовательно,	самый	экономичный
элементе
	способ их использования. Активный

режим является самым энергетически выгодным и экономичным режимом
работы цепи.

1.4.2 Идеальный индуктивный элемент

Индуктивность в электрических схемах условно обозначается так, как показано на рисунке 4.

	L			Идеальной индуктивностью L ,
i	L			называют элемент цепи, в котором
				электрическая энергия	полностью
	uL			преобразуется в энергию магнитного
	uL			поля. Идеальный индуктивный эле-
				поля. Идеальный индуктивный эле-
Рисунок 4 - Индуктивный				мент не имеет нагрева и электриче-
Рисунок 4 - Индуктивный				ских полей.
элемент				ских полей.
элемент				Индуктивность препятствует вся-
				Индуктивность препятствует вся-
				кому изменению тока в цепи.
Если по индуктивности протекает синусоидальный переменный ток
i = Im sin ω t , то напряжение на ней будет:
di	d				π
uL = L	= L	(I m sinω t) = LI mω cos ω t =ωLI m sin ω t +			;
dt	dt				2
			π
uL =U mL sin ω t +			,		(3)
			2

где U mL =ωLI m - амплитуда напряжения на индуктивном элементе. Графики колебаний тока и напряжения на индуктивности и вектор-

ная диаграмма, характеризующая данный элемент приведены на рисунке 5.

На идеальном индуктивном элементе в любой момент времени ток отстает от напряжения на угол 90°. Таким образом, здесь мы наблюдаем

сдвиг между напряжением и током на угол π . 2

uL, i

		UmL		ϕ =	π
		UmL
					2
			Im		2
			Im	t
				t
		0		UmL
		0
ϕ =	π	T
	2	T
	2

Рисунок 5 - Графики тока и напряжения на индуктивном элементе

Данный элемент запасает внутри себя энергию в виде магнитного поля. Энергия элемента определяется током, поэтому ток и отстает по фа- зе. В общем случае, в цепи переменного тока всегда отстает по фазе та ве- личина, которая связана с энергией. На векторной диаграмме, та величина, которая встречается первой, при обходе против часовой стрелки, считается отстающей.

Мощность, потребляемая индуктивным элементом от источника энергии, определится:

P	= u	L	i =ωLI	m	cosω t I	m	sinω t =ωLI 2 sin 2ω t .	(4)
L		L		m		m	m
Данное выражение определяет закон колебания мощности на индук-
РL, i							тивном элементе цепи. График, иллюстри-
РL, i							рующий выражение (4.4)	показан на ри-
	PL						рующий выражение (4.4)	показан на ри-
	PL						сунке 6.
							сунке 6.
			i				Из графика следует,	что на идеали-
			i				зированной индуктивности мощность ко-
					t		зированной индуктивности мощность ко-
					t		леблется с удвоенной частотой. При этом
							леблется с удвоенной частотой. При этом
0							мощность принимает как положительные,
							так и отрицательные значения.
							За период изменения тока в цепи,
			T				поступление и возврат энергии в индук-
			T				тивный элемент равны друг другу. Это
							тивный элемент равны друг другу. Это
Рисунок 6 - График							значит, что, сколько энергии поступает в
колебания мощности на							нагрузку, столько же и возвращается об-
индуктивном элементе							ратно в генератор.

Энергия здесь не тратится, она колеблется между генератором и на- грузкой, бесполезно загружая провода. Здесь существуют встречные пото- ки энергии, фактическое сечение проводов становится меньше геометри- ческого, в результате пропускная способность линии снижается. В сильно- точных цепях это вредный режим и от него приходится всеми средствами избавляться.

1.4.3 Идеальный емкостный элемент

Емкость (конденсатор) в электрических схемах условно обозначается так, как показано на рисунке 7.

i	С	Идеальной емкостью C , называют
	С	элемент цепи, в котором электрическая


		энергия полностью преобразуется в энер-
		энергия полностью преобразуется в энер-
	uС	гию электрического поля. Идеальный ем-
		костный элемент не имеет нагрева и маг-
		нитных полей.
Рисунок 7 - Емкостной		Емкость препятствует всякому измене-
	элемент	нию напряжения в цепи.
		Ток через емкость - это особый ток, по-

скольку он проходит по диэлектрику. Это так называемый ток смещения. Он определяется по закону Ома для диэлектрика:

i = C duC .

Если

по емкости

протекает

синусоидальный переменный

i = Im sin ω t , то напряжение на ней будет

∫idt =

∫I m sinω t dt =

I m

∫sinω t dt =

I m

(− cosω t ),

Cω

= U mC sin ω t −

где U mC

Im - амплитуда напряжения на емкостном элементе.

ωC

(5)

ток

(6)

Графики колебаний тока и напряжения на емкости и векторная диа- грамма, характеризующая данный элемент приведены на рисунке 8.

На идеальном емкостном элементе в любой момент времени напря- жение отстает от тока на угол 90°. Таким образом, здесь мы наблюдаем

сдвиг между напряжением и током на угол − π . 2

Данный элемент запасает внутри себя энергию в виде электрическо- го поля.

Энергия элемента определяется напряжением, поэтому напряжение и отстает по фазе.

Рисунок 9 - График колебания

мощности на емкостном элементе

uC, i

		Im
Im	UmC	ϕ = −	π
		ϕ = −

UmC

ϕ = − π

Рисунок 8 - Графики тока и напряжения на емкостном элементе

Мощность, потребляемая емкостным элементом от источника энер- гии, определится:

= u

i =

cosω t I

sinω t = −

sin 2ω t .

(7)

ωC

Данное выражение определяет закон колебания мощности на емко- стном элементе цепи. График, иллюстрирующий выражение (7) показан на рисунке 9.

Из графика следует, что на идеализированной емкости мощность ко- леблется с удвоенной частотой. При

РC, i		этом мощность принимает как положи-
	PC	тельные, так и отрицательные значе-
	PC	ния. За период изменения тока, посту-
		ния. За период изменения тока, посту-
		пление и возврат энергии в емкостном
		элементе равны друг другу. Это значит,
0		что, сколько энергии поступает в на-
0		грузку, столько же и возвращается об-
		грузку, столько же и возвращается об-

iратно в генератор. Энергия здесь, как и в случае с индуктивностью, не тратит-

ся, она колеблется между генератором и нагрузкой, бесполезно загружая про- вода. Встречные потоки энергии при- водят к снижению фактического сече- ния проводов, в результате пропускная

способность линии снижается.

Реактивная энергия на емкости противоположна по знаку реактивной энергии на индуктивности. Это означает, что емкость и индуктивность стремятся поглотить друг друга, скомпенсировать друг друга. Такая ком- пенсация широко используется на практике, в частности для организации резонансных режимов.

Контрольные вопросы

1.Рассмотреть активный элемент цепи (дать определение ему, вы-

вести аналитическое выражение для UR при токе i=Im·Sinωt, показать их на графике, начертить векторную диаграмму).

2.Рассмотреть индуктивный элемент (дать определение ему, вывес-

ти формулу для UL при токе i=Im·Sinωt, показать их на графике, начертить векторную диаграмму).

3. Рассмотреть емкостный элемент цепи (дать определение ему, вы- вести формулу для UC при токе i=Im·Sinωt, показать их на графике, начер- тить векторную диаграмму).

Лекция 1.5 Полная цепь переменного тока. Мощность в цепи переменного тока

План лекции

1)Закон Ома для полной цепи переменного тока, треугольник на- пряжений.

2)Треугольник сопротивлений и токов.

3)Мощность в цепи переменного тока.

1.5.1Закон Ома для полной цепи переменного тока, треугольник напряжений

1.5.1.1 Закон Ома для Полной цепи переменного тока



Um	U ma		L
	U ma

		UmL
	С
	С

UmC

Рисунок 1 - Полная цепь

переменного тока

Полной цепью переменного тока назы- вается такая цепь, в которой активный, ин- дуктивный и емкостной элементы соединены друг с другом последовательно.

Часто такие цепи называются - цепями RLC . Полная цепь изображена на рисунке 1.

Пусть на входе цепи действует сину- соидальное напряжение u =U m sin ω t , пара- метры цепи R , L и C известны. Найдем ам-

плитудное Im , действующее I	и мгновенное
i значения тока и сдвиг фаз	- ϕ , между

входным током и напряжением.

Для решения поставленной задачи построим векторную диаграмму для амплитуд, рисунок 2.

Рисунок 2 - Векторная диаграмма

Основное уравнение физического состояния цепи можно записать, используя второй закон Кирхгофа

=U ma

=RIm

+ (U mL − U mC ) = RI m


	1

+ ωL −		Im .

	ωC

		1

+ ωLI m	−		I m ;
		ωC

(1)

Выражение (1) иллюстрируется заштрихованным треугольником на рисунке 2, который называют - треугольником напряжений.

Чтобы определить величину амплитуды тока, воспользуемся теоре- мой Пифагора для треугольника напряжения

2		2	2		1 2	2
U m	= R		I m	+ ωL −		I m	,

					ωC

откуда получим закон Ома для цепи переменного тока в амплитудных зна- чениях

Im =		U m			.
Im =					.
R	2		−	1	2
R		+ ωL	−
				ωC

Разделив обе части выражения ствующих значениях

I =		U		.
I =				.
R	2		1	2
R		+ ωL −
			ωC

Размерность выражение ωL

(2)

(2) на 2 , получим закон Ома в дей-

(3)

-	[ωL]=	1	сек Ом	= [Ом], видим,

		сек

что данное выражение имеет размерность сопротивления, поэтому и назы- вается - индуктивным реактивным сопротивлением. Оно обозначается:

xL = ωL = 2π fL

(4)

Индуктивное сопротивление учитывает противодействующий харак- тер ЭДС самоиндукции катушки, рисунок 3.

Рисунок 3 - Индуктивное сопротивление катушки

Индуктивное сопротивление катушки в действительности не суще- ствует. Реально, в цепи существует противодействующая току ЭДС катуш-

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке КУРС лекций Электротехника, электронное