3.2. Kusum-карты средних значений
Пусть
контролю подлежит среднее значение
распределенного
по нормальному закону с параметрами
(
,
)
признаками качества
с
постоянной технологической дисперсией
.
Пусть для
задано
значение
и
недопустимы слишком сильные отклонения
от него в обе стороны.
В
карте средних значений Шухарта
контрольная величина
,
представляющая собой среднее значение
выборки объемом
,
взятой к моменту
,
подчиняется (согласно принятому условию)
нормальному распределению с параметрами
(
,
/
),
поэтому
.
Отсюда следует, что
,
если
.
Значения контрольной величины карты
средних значений Шухарта
при постоянном уровне настройки процесса
рассеяны
относительно прямой
,
параллельной оси времени
.
При нормальном ходе процесса, когда
,
график реализаций величины
колеблется
вокруг прямой
.
При
использовании KUSUM-карт
средних значений отклонения
между
-м
выборочным значением и заданным значением
суммируются
с начала процесса или с момента последней
поднастройки
.
(72)
В
силу того, что величина
должна
подчиняться нормальному закону с
параметрами (
,
/
),
статистика
имеет
математическое ожидание
.
(73)
Следовательно,
,
если
.
(74)
Это
означает, что математическое ожидание
накопленной суммы отклонений
при
постоянном уровне настройки процесса
являются
линейной функцией от
.
Соответствующая прямая имеет крутизну
.
При
график
значений
(кривая)
случайно блуждает относительно оси
времени
.
Если, начиная с момента времени
,
происходит смещение уровня настройки
,
то кривая с момента времени
начнет
колебаться относительно полупрямой,
начинающейся при
и
имеющей крутизну подъема
.
Таким образом, если кривая на карте начинает слишком быстро падать или возрастать, то это означает, что произошло недопустимое смещение уровня настройки, и следует предпринять вмешательство в ход процесса.
Рис. 6. Математическое ожидание контрольной величины карты средних значений Шухарта и KUSUM-карты как функции времени
3.3. Метод обработки kusum-карт с использованием V-маски
V-маской
называется шаблон с разрезом в виде
буквы V,
форма которой определяется углом
раскрытия 2
и высотой основания
(см.
рис.).
V-маску помещают так, чтобы последнее значение KUSUM-значение на контрольной карте совпало с точкой 0.
Если
весь график [последовательность
значений точек (1,
),
(2,
),
…, (
,
)
на карте] находится внутри V-маски
(внутри угла), то можно сделать вывод о
том, что до момента времени
смещение
уровня настройки процесса от требуемого
значения
было
незначительным и вмешиваться в процесс
с целью подналадки не следует.
Если
график пересекает одну из сторон V-маски
(сторону угла), то это свидетельствует
о том, что отклонение хода процесса от
номинала
к
моменту времени
,
(
)
настолько велико, что необходимо
предпринять вмешательство в процесс,
увеличивая или уменьшая значение уровня
настройки в зависимости от того, какая
из сторон маски пересекается графиком.
При
заданных вероятностях ошибок первого
и
второго рода
параметры
V-маски
определяются соотношениями
,
(75)
где
,
.
Если пренебречь
,
то получается хорошее приближение
.
(76)
Угол
2
,
определяющий раскрытие V-маски,
находится из соотношения
:
.
(77)
Это
справедливо, если величины по оси абсцисс
и оси ординат откладываются в тех же
единицах. Если
единиц
(
>0)
по оси ординат соответствует одной
единице по оси абсцисс, то угол
определяется
по более общей формуле:
.
(78)