Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

[НА УДАЛЕНИЕ]

Файл:

Толстов это все дал / GOST_R_50779_21-96.doc

Скачиваний:

113

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

2.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

8 Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале*

___________

* Доля распределения случайной величины в заданном. интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», используемый в данном стандарте, хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для «вероятности попадания случайной величины в интервал».

(Измененная редакция, Изм. № 1).

8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.

Таблица 8.1 - Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)

Исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Среднее значение (математическое ожидание): m₀=	1 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:
2 Стандартное отклонение s₀= или дисперсия D₀=s²₀=	2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:
3 Границы интервала: нижняя L= верхняя М=	3 Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы L: q_L=Ф(u^L) Если Lне задано, тоq_L= 0
	4 Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы М: q_M=Ф(-u^M) Если Мне задано, тоq_M= 0
Результаты:
1 Доля распределения случайной величины вне интервала [L,M]: q=q_L+q_M
1 Доля распределения случайной величины в интервале [L,M]: p= 1 -q
Примечание - Величины Ф(u^L) иФ(-u^M) представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют потаблице А.1 приложения А

Исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Среднее значение (математическое ожидание):

m₀=

1 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:

2 Стандартное отклонение

s₀=

или дисперсия

D₀=s²₀=

2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:

3 Границы интервала:

нижняя L=

верхняя М=

3 Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы L:

q_L=Ф(u^L)

Если Lне задано, тоq_L= 0

4 Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы М:

q_M=Ф(-u^M)

Если Мне задано, тоq_M= 0

Результаты:

1 Доля распределения случайной величины вне интервала [L,M]:

q=q_L+q_M

1 Доля распределения случайной величины в интервале [L,M]:

p= 1 -q

Примечание - Величины Ф(u^L) иФ(-u^M) представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют потаблице А.1 приложения А

Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров mиs²считают известными.Таблица 8.1содержит вспомогательный алгоритм для решения задач 8.2-8.9.

Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или номинальное значение и известной точности s²₀.

8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.

Таблица 8.2 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n=	1 Точечная оценка среднего значения:
2 Стандартное отклонение: s₀= или дисперсия D₀=s²₀=	2 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала: нижняя: верхняя:
3 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	3 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L(см.таблицу 8.1) Если Lне задана, то
4 Границы интервала: нижняя L= верхняя M=	4 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М(см.таблицу 8.1) Если Мне задана, то
Результаты:
1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L,М]:
2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L,М]:
Примечание - Величины ипредставляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют потаблице A.1 приложения А

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Стандартное отклонение:

s₀=

или дисперсия D₀=s²₀=

2 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

нижняя:

верхняя:

3 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx=

3 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L(см.таблицу 8.1)

Если Lне задана, то

4 Границы интервала:

нижняя L=

верхняя M=

4 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М(см.таблицу 8.1)

Если Мне задана, то

Результаты:

1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L,М]:

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L,М]:

Примечание - Величины ипредставляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют потаблице A.1 приложения А

Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.

8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.

Таблица 8.3 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные	Табличные данные и вычисления
1 Объем выборки: n=	1 Точечная оценка среднего значения:
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	2 Вычисляем:
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx²=	3 Точечная оценка стандартного отклонения:
4 Границы интервала: нижняя L= верхняя М=	4 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала нижняя: верхняя:
	5 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L(см.таблицу 8.1): Если Lне задана, то
	6 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М(см.таблицу 8.1): Если М не задана, то 0
Результаты:
1 Точечная оценки доли распределения случайной величины вне интервала [L,М]:
2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L,М]:
Примечание - Величины ипредставляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют потаблице A.1 приложения А

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx=

2 Вычисляем:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx²=

3 Точечная оценка стандартного отклонения:

4 Границы интервала:

нижняя L=

верхняя М=

4 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала

нижняя:

верхняя:

5 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L(см.таблицу 8.1):

Если Lне задана, то

6 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М(см.таблицу 8.1):

Если М не задана, то 0

Результаты:

1 Точечная оценки доли распределения случайной величины вне интервала [L,М]:

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L,М]:

Пример тот же, что и в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.

8.4 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале выше заданной нижней границы Lприведен втаблице 8.4. Таким образом определяют верхнюю доверительную границуq_вдля доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границейL, а также нижнюю доверительную границур_ндля доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Примечание - Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины Хи доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска)LиМдля случайной величины измеряются в тех же единицах физических величин, что и случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т. п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.

Примеры

1 Определение уровня несоответствий для показателя «толщина гальванопокрытия». Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

2 Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества «твердость после термической обработки». Требование (допуск) одностороннее: L= 45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границыq_вна долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная границар_нна долю продукции, соответствующей требованию, т. е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценкир_ниq_в, в отличие от точечных, имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1 -a):

истинная доля годной продукции не менее р_н;

истинная доля несоответствующей продукции не более q_в.

Таблица 8.4 - Определение верхнейq_ви нижнейр_ндоверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границейL(дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: P_rob{q£q_в} ³ 1 -a,P_rob{p³p_н} ³ 1 -a
1 Объем выборки: n=	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	- дляmи
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx²=	- дляs, причем = 1 -a,
4 Степени свободы: v=n– 1 =	где j= 1, 2, 3, тогда a¹_m= 1/4a a²_m= 1/2a
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a	a³_m= 3/4a a^j_s=/
6 Нижняя граница одностороннего интервала: L=	2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения
	2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m) (см. формулу (2) таблицы 6.2)
	2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s) (см. формулу (4) таблицы 7.1)
	Примечание - Данную процедуру повторяют три раза
	3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1: q^j_в=
	4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем: q¹_в,q²_в,q³_в
Результаты:
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a): q_в=min(q¹_в,q²_в,q³_в)
2 Нижняя доверительная граница для р: р_н= 1 -q_в

Необходимые условия: P_rob{q£q_в} ³ 1 -a,P_rob{p³p_н} ³ 1 -a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx=

- дляmи

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx²=

- дляs, причем

= 1 -a,

4 Степени свободы:

v=n– 1 =

где j= 1, 2, 3, тогда

a¹_m= 1/4a

a²_m= 1/2a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a³_m= 3/4a

a^j_s=/

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1:

q^j_в=

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q¹_в,q²_в,q³_в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a):

q_в=min(q¹_в,q²_в,q³_в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

р_н= 1 -q_в

8.5 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале ниже заданной верхней границы Мприведен в таблице 8.5. Таким образом определяют верхнюю доверительную границуq_вдля доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границейМ, а также нижнюю доверительную границур_ндля доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.5 - Определение верхнейq_ви нижнейр_ндоверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границейМ(дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: P_rob{q£q_в} ³ 1 -a,P_rob{p³p_н} ³ 1 -a
1 Объем выборки: n=	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	- дляmи
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx²=	- дляs, причем = 1 -a,
4 Степени свободы: v=n– 1 =	где j= 1, 2, 3, тогда a¹_m= 1/4a a²_m= 1/2a
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a	a³_m= 3/4a a^j_s=/
6 Верхняя граница одностороннего интервала: М=	2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения
	2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m) (см. формулу (1) таблицы 6.2)
	2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s) (см. формулу (4) таблицы 7.1)
	Примечание - Данную процедуру повторяют три раза
	3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1: q^j_в=
	4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем: q¹_в,q²_в,q³_в
Результаты:
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a): q_в=min(q¹_в,q²_в,q³_в)
2 Нижняя доверительная граница для р: р_н= 1 -q_в

Необходимые условия: P_rob{q£q_в} ³ 1 -a,P_rob{p³p_н} ³ 1 -a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx=

- дляmи

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx²=

- дляs, причем

= 1 -a,

4 Степени свободы:

v=n– 1 =

где j= 1, 2, 3, тогда

a¹_m= 1/4a

a²_m= 1/2a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a³_m= 3/4a

a^j_s=/

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

М=

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m)

(см. формулу (1) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1:

q^j_в=

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q¹_в,q²_в,q³_в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a):

q_в=min(q¹_в,q²_в,q³_в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

р_н= 1 -q_в

Пример - Определение уровня несоответствий для показателя «процент примесей» в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L,М] приведен в таблице 8.6. Таким образом определяют верхнюю доверительную границуq_вдля доли распределения вне интервала [L,М], а также нижнюю доверительную границуp_ндля доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.6 - Определение верхнейq_ви нижнейp_ндоверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: P_rob{q£q_в} ³ 1 -a,P_rob{p³p_н} ³ 1 -a
1 Объем выборки: n=	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	- дляmи - дляs, причем
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx²=	= 1 -a, где j= 1, 2, 3, тогда a¹_m= 1/4a
4 Степени свободы: v=n– 1 =	a²_m= 1/2a a³_m= 3/4a
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a	a^j_s=/
6 Границы интервала: L= М=	2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения
	2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m) , (см. формулы (1),(2) таблицы 6.2)
	2.2 Наихудшая точка : =m_н, еслиm_н–А£В-m_в =m_в, еслиm_н–А>В-m_в
	2.3 Интервальная оценка параметра s,соответствующая доверительной вероятности (1 -a_s) (см. формулу (4) таблицы 7.1)
	Примечание - Данную процедуру повторяют три раза
	3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1: q^j_в=
	4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем: q¹_в,q²_в,q³_в
Результаты:
1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a): q_в=min(q¹_в,q²_в,q³_в)
2 Нижняя доверительная граница для р: р_н= 1 -q_в

Необходимые условия: P_rob{q£q_в} ³ 1 -a,P_rob{p³p_н} ³ 1 -a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx=

- дляmи

- дляs, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx²=

= 1 -a,

где j= 1, 2, 3, тогда

a¹_m= 1/4a

4 Степени свободы:

v=n– 1 =

a²_m= 1/2a

a³_m= 3/4a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a^j_s=/

6 Границы интервала:

М=

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m)

(см. формулы (1),(2) таблицы 6.2)

2.2 Наихудшая точка :

=m_н, еслиm_н–А£В-m_в

=m_в, еслиm_н–А>В-m_в

2.3 Интервальная оценка параметра s,соответствующая доверительной вероятности (1 -a_s)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1:

q^j_в=

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q¹_в,q²_в,q³_в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a):

q_в=min(q¹_в,q²_в,q³_в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

р_н= 1 -q_в

Пример из 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.

8.7 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале выше заданной нижней границы Lприведен в таблице 8.7. Таким образом определяют нижнюю доверительную границуq_ндля доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границейL, а также верхнюю доверительную границур_вдля доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.7 - Определение нижнейq_ни верхнейр_в, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границейL(дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: P_rob{q³q_н} ³ 1 -a,P_rob{p£p_в} ³ 1 -a
1 Объем выборки: n=	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	- дляmи - дляs, причем
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx²=	= 1 -a, где j= 1, 2, 3, тогда a¹_m= 1/4a
4 Степени свободы: v=n– 1 =	a²_m= 1/2a a³_m= 3/4a
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a
6 Нижняя граница одностороннего интервала: L=	2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения
	2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m) (см. формулу (2) таблицы 6.2)
	2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s) (см. формулу (3) таблицы 7.1)
	Примечание - Данную процедуру повторяют три раза
	3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1: q^j_н=
	4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем: q¹_н,q²_н,q³_н
Результаты:
1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a): q_н=max(q¹_н,q²_н,q³_н)
2 Верхняя доверительная граница для р: р_в= 1 –q_н

Необходимые условия: P_rob{q³q_н} ³ 1 -a,P_rob{p£p_в} ³ 1 -a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx=

- дляmи

- дляs, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx²=

= 1 -a,

где j= 1, 2, 3, тогда

a¹_m= 1/4a

4 Степени свободы:

v=n– 1 =

a²_m= 1/2a

a³_m= 3/4a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1:

q^j_н=

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q¹_н,q²_н,q³_н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a):

q_н=max(q¹_н,q²_н,q³_н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

р_в= 1 –q_н

Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.

8.8 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале ниже заданной верхней границы Мприведен в таблице 8.8. Таким образом определяют нижнюю доверительную границуq_ндля доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границейМ, а также верхнюю доверительную границур_вдля доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.8 - Определение нижнейq_ни верхнейр_в, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границейМ(дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: P_rob{q³q_н} ³ 1 -a,P_rob{p£p_в} ³ 1 -a
1 Объем выборки: n=	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	- дляmи - дляs, причем
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx²=	= 1 -a, где j= 1, 2, 3, тогда a¹_m= 1/4a
4 Степени свободы: v=n– 1 =	a²_m= 1/2a a³_m= 3/4a
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a
6 Верхняя граница одностороннего интервала: М=	2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения
	2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m) (см. формулу (2) таблицы 6.2)
	2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s) (см. формулу (3) таблицы 7.1)
	Примечание - Данную процедуру повторяют три раза
	3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1: q^j_н=
	4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем: q¹_н,q²_н,q³_н
Результаты:
1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a): q_н=max(q¹_н,q²_н,q³_н)
2 Верхняя доверительная граница для р: р_в= 1 –q_н

Необходимые условия: P_rob{q³q_н} ³ 1 -a,P_rob{p£p_в} ³ 1 -a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx=

- дляmи

- дляs, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx²=

= 1 -a,

где j= 1, 2, 3, тогда

a¹_m= 1/4a

4 Степени свободы:

v=n– 1 =

a²_m= 1/2a

a³_m= 3/4a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

М=

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

2.2 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1:

q^j_н=

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем:

q¹_н,q²_н,q³_н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a):

q_н=max(q¹_н,q²_н,q³_н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

р_в= 1 –q_н

8.9 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L,М] приведен в таблице 8.9. Таким образом определяют нижнюю доверительную границуq_ндля доли распределения вне интервала [L,М], а также верхнюю доверительную границур_вдля доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.9 - Определение нижнейq_ни верхнейр_в, доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L,М] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: P_rob{q³q_в} ³ 1 -a,P_rob{p£p_н} ³ 1 -a
1 Объем выборки: n=	1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx=	- дляmи - дляs, причем
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx²=	= 1 -a, где j= 1, 2, 3, тогда a¹_m= 1/4a
4 Степени свободы: v=n– 1 =	a²_m= 1/2a a³_m= 3/4a
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a	a^j_s=/
6 Границы интервала: L= М=	2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения
	2.1 Интервальная оценка параметра mс доверительной вероятностью (1 -a_m) или , (см. формулы (1),(2) таблицы 6.2)
	2.2 Наихудшая точка : =m_в, если(2.2.1) =m_н, если(2.2.2) , если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются
	2.3 Интервальная оценка параметра sс доверительной вероятностью (1 -a_s) (см. формулу (3) таблицы 7.1)
	Примечание - Данную процедуру повторяют три раза
	3 Интервальная оценка величины qпри полученных значениях параметровmиs- потаблице 8.1: q^j_н=
	4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j= 1, 2, 3 имеем: q¹_н,q²_н,q³_н
Результаты:
1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 -a): q_н=max(q¹_н,q²_н,q³_н)
2 Верхняя доверительная граница для р: р_в= 1 –q_н

Необходимые условия: P_rob{q³q_в} ³ 1 -a,P_rob{p£p_н} ³ 1 -a