7 Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности
7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.
Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: n= |
1 Квантили c2-распределения сvстепенями свободы уровнейa, (1 -a),a/2 и (1 -a/2) соответственно |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx= |
c2a(v) = c21-a(v) = |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2= |
c2a/2(v) = c21-a/2(v) = |
|
4 Степени свободы: v=n- 1 |
2 Вычисляем:
|
|
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
3 Вычисляем:
|
|
Результаты: | |
|
1 Точечные оценки дисперсии Dи стандартного отклоненияsгенеральной совокупности:
| |
|
2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D:
| |
|
3 Односторонний доверительный интервал* для дисперсии D:
_____________ * Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения sявляются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсииD. | |
|
Примечание - Квантили c2-распределения определяют потаблице В.1 приложения В | |
=
=S2;
или
(3)
(4)Примеры
1 Оценка точности (т. е. средней величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.
2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температуры в печи).
Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то делается точечная оценка s2илиs, а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то делается интервальная оценкаs2илиs с верхней доверительной границей.
7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.
Таблица 7.2 - Сравнений дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: n= |
1 Квантили c2-распределения сvстепенями свободы уровнейa, (1 -a),a/2 и (1 -a/2) соответственно |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx= |
c2a(v) = c21-a(v) = |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2= |
c2a/2(v) = c21-a/2(v) = |
|
4 Заданное значение: s20=D0= |
2 Вычисляем:
|
|
5 Степени свободы: v=n- 1 |
3 Вычисляем:
|
|
6 Выбранный уровень значимости: a= |
|
|
Результаты: | |
|
Сравнение дисперсии Dс заданным значениемD0=s20; или сравнение стандартного отклоненияsс заданнымs0: | |
|
1 Двусторонний случай: | |
|
Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
2 Односторонний случай: | |
|
а) Предположение о том. что дисперсия (стандартное отклонение) не больше заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
б) Предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не меньше заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
Примечание - Квантили c2-распределения определяют потаблице В.1 приложения В | |
=
или
Примеры
1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т. е. известным параметром s0) другого оборудования или технологического процесса.
2 Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т. е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением s0.
7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.
Таблица 7.3 - Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления | ||
|
|
Первая выборка |
Вторая выборка |
1 Вычисляем: |
|
1 Объем выборки: |
n1= |
n2= |
|
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: |
Sx1= |
Sx2= |
|
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
Sx21= |
Sx22= |
2 Вычисляем:
|
|
4 Степени свободы |
v1=n1- 1 = |
v2=n2– 1 = |
|
|
5 Выбранный уровень значимости: a= |
3 Квантили распределения Фишера: F1-a/2(v1,v2) = F1-a(v1,v2) = | ||
|
Результаты: | |||
|
Сравнение дисперсий двух совокупностей: | |||
|
1 Двусторонний случай: | |||
|
Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:
| |||
|
2 Односторонний случай: | |||
|
а) Предположение о том, что D1£D2(s1£s2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |||
|
б) Предположение о том, что D1³D2(s1³s2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |||
|
Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1-Г.9 приложения Г | |||
;
или
Примеры
1 Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.
2 Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.