6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности
6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.
Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: n= |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a): u1-a= |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx= |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2): u1-a/2= |
|
3 Известное значение дисперсии: s20 |
3 Вычисляем:
|
|
4 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
4 Вычисляем:
|
|
|
5 Вычисляем:
|
|
Результаты: | |
|
1 Точечная оценка параметра m:
| |
|
2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для m:
| |
|
3 Односторонние доверительные интервалы для m:
m£
m³
| |
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А | |
=
=
-К2s0£m£
+К2s0
+К1s0или
-К1s0Примеры
1 Определение настроенности станка-автомата
при механической обработке (например,
токарного, шлифовального). Точность
станка, определяемая разбросом получаемых
размеров деталей без изменения настройки,
считается известной, а центр настройкиmтребуется определить. Возможны
оценки в виде точечного значения
или
в виде интервала, который с известной
степенью доверия (доверительной
вероятностью) включает неизвестное
значениеm.Интервал может быть:
- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью в каких пределах может лежать m;
- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что mне выше какого-то значения:
- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что mне ниже какого-то значения.
2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т. е. известным параметром s20), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую и меньшую стороны от центра настройкиm. Условие и возможные типы оценок - как впримере 1.
6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.
Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: n= |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) сvстепенями свободы: t1-a(v) = |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx= |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) сvстепенями свободы: t1-a/2(v) = |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2= |
3 Вычисляем:
|
|
4 Степени свободы: v=n– 1 = |
4 Вычисляем:
|
|
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
5 Вычисляем:
|
|
|
6 Вычисляем:
|
|
|
7 Вычисляем:
|
|
Результаты: 1 Точечная оценка параметра m:
| |
|
2 Точечная оценка параметра D:
| |
|
3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра m:
| |
|
4 Односторонние доверительные интервалы для параметра m: m£
m³
| |
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б | |
=
=
=S2
-l2S£m£
+l2S
+l1Sили (1)
-l1S(2)Пример - Примеры те же, что и в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.
6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением m0при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.
Таблица 6.3 - Сравнение среднего значения с заданным значениемm0при известной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: n= |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a): u1-a= |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx= |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2): u1-a/2= |
|
3 Заданное значение: m0= |
3 Вычисляем:
|
|
4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности: s20= или стандартного отклонения: s0= |
|
|
5 Выбранный уровень значимости: a= |
|
|
Результаты: | |
|
Сравнение
выборочного среднего значения
| |
|
1 В двустороннем случае: | |
|
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
1 В одностороннем случае: | |
|
а) Предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем m0(нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
б) Предположение о том, что выборочное среднее не больше чем m0(нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.1 | |
с
заданным значениемm0:
Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т. е. значениеs20известно.
Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.
6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением m0при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.
Таблица 6.4 - Сравнение среднего значения с заданным значениемm0при неизвестной дисперсии
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления |
|
1 Объем выборки: n= |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) сvстепенями свободы: t1-a(v) = |
|
2 Сумма значений наблюдаемых величин: Sx= |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) сvстепенями свободы: t1-a/2(v) = |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: Sx2= |
3 Вычисляем:
|
|
4 Заданное значение: m0= |
4 Вычисляем:
|
|
5 Степени свободы: v=n- 1 |
5 Вычисляем:
|
|
6 Выбранный уровень значимости: a= |
|
|
Результаты: | |
|
Сравнение
выборочного среднего значения
| |
|
1 В двустороннем случае: | |
|
Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
1 В одностороннем случае: | |
|
а) Предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем m0(нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
б) Предположение о том, что выборочное среднее не больше чем m0(нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б | |
с
заданным значениемm0:
Примеры
1 То же, что и в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.
2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.
Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос:
являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.
То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т. п.
6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.
Таблица 6.5 - Сравнение двух средних значений при известных дисперсиях
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления | ||
|
|
Первая выборка |
Вторая выборка |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a): u1-a= |
|
1 Объем выборки: |
n1= |
n2= |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2): u1-a/2= |
|
2 Суммы значений наблюдаемых величин: |
Sx1= |
Sx2= |
3 Вычисляем:
|
|
3 Известные значения дисперсий генеральных совокупностей: |
s201= |
s202= |
4 Вычисляем:
|
|
4 Выбранный уровень значимости: |
a= |
| |
|
Результаты: | |||
|
Сравнение средних значений двух совокупностей: | |||
|
1 Двусторонний случай: | |||
|
Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |||
|
2 Односторонний случай: | |||
|
а) Предположение о том, что первое среднее не меньше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |||
|
б) Предположение о том, что первое среднее не больше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |||
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А | |||
;
Примеры
1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т. е. известны параметры s01иs02. Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.
2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержание кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т. е. дисперсии) для каждого из двух заводов.
6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значении при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.
Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления | ||
|
|
Первая выборка |
Вторая выборка |
|
|
1 Объем выборки: |
n1= |
n2= |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) сvстепенями свободы: t1-a(v) = |
|
2 Суммы значений наблюдаемых величин: |
Sx1= |
Sx2= |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) сvстепенями свободы: t1-a/2(v) = |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
Sx21= |
Sx22= |
3 Вычисляем:
|
|
4 Степени свободы v=n1+n2- 2 = |
4 Вычисляем:
| ||
|
5 Выбранный уровень значимости: a |
5 Вычисляем:
| ||
|
Результаты: | |||
|
Сравнение средних значений двух совокупностей: | |||
|
1 Двусторонний случай: | |||
|
а) Предположение о том, что m1³m2(нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |||
|
2 Односторонний случай: | |||
|
а) Предположение о том. что m1£m2(нулевая гипотеза) отклоняется, если:
| |||
|
б) Предположение о том, что первое среднее не больше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если: / | |||
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б | |||
;
1<
2-t1-a(v)Sd
1>
2+t1-a(v)Sd
1-
2/
>t1-a/2(v)SdПримечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.
Примеры
1 Примеры те же, что и для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем задач в6.5, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.
2 Пример 2из6.5может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.
6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.
Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления | ||
|
|
Первая выборка |
Вторая выборка |
1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a): u1-a= |
|
1 Объем выборки: |
n1= |
n2= |
2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2): u1-a/2= |
|
2 Суммы значений наблюдаемых величин: |
Sx1= |
Sx2= |
3 Вычисляем:
|
|
3 Известное значение дисперсий генеральной совокупности: |
s201= |
s202= |
4 Вычисляем:
|
|
4 Выбранный уровень значимости: |
a= |
|
|
|
тогда доверительная вероятность равна 1 - a |
| ||
|
Результаты: | |||
|
1 Точечная оценка разности между средними значениями параметров m1иm2для двух совокупностей: (m1-m2)Ù=
| |||
|
2 Односторонний доверительный интервал для разности (m1-m2):
(m1-m2) <
( (m1-m2) > ( | |||
|
3 Двусторонний доверительный интервал для разности (m1-m2): ( | |||
|
4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если: / | |||
|
Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А | |||
;
1-
2
1-
2)
+u1-asdили
1-
2)
-u1-asd
1-
2)
-u1-a/2sd<
(m1-m2) <
(
1-
2)
+u1-a/2sd
1-
2/
>u1-a/2(v)sdПример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.
Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т. п.
6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.
Таблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях
___________
* Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.
|
Статистические и исходные данные |
Табличные данные и вычисления | ||
|
|
Первая выборка |
Вторая выборка |
|
|
1 Объем выборки: |
n1= |
n2= |
1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) сvстепенями свободы: t1-a(v) = |
|
2 Суммы значений наблюдаемых величин: |
Sx1= |
Sx2= |
2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) сvстепенями свободы: t1-a/2(v) = |
|
3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин: |
Sx21= |
Sx22= |
3 Вычисляем:
|
|
4 Степени свободы v=n1+n2- 2 = |
4 Вычисляем:
| ||
|
5 Выбранная доверительная вероятность: 1 - a |
5 Вычисляем:
| ||
|
Результаты: | |||
|
1 Точечная оценка разности между средними значениями параметров m1иm2для двух совокупностей: (m1-m2)Ù=
| |||
|
2 Двусторонний
доверительный интервал для разности
( | |||
|
3 Односторонний доверительный интервал для разности (m1-m2):
m1-m2<
( m1-m2> ( | |||
|
Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б | |||
;
1-
2
:
1-
2)
-t1-a/2(v)Sd<m1-m2<
(
1-
2)
+t1-a/2(v)Sd
1-
2)
+t1-a(v)Sdили
1-
2)
-t1-a(v)SdПример - Пример тот же; что и в 6.7, но дисперсии неизвестны. Применение этих оценок может встречаться чаще, чем оценки в6.7, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.