Управление качеством. Лекция 2 В лекции рассматриваются следующие вопросы:
1.Элементы теории вероятностей и математической статистики
2.Семь статистических инструментов анализа и контроля результатов текущего процесса
3.Семь инструментов управления качеством
109 |
1 |
• 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
•И
•МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
•СТАТИСТИКИ
109 |
2 |
1.1.Элементы теории вероятностей
Cтатистический (стохастический) эксперимент - эксперимент, результат которого заранее неизвестен. Лежит в основе теории вероятностей и математической статистики. Проводится по определенному плану Цель эксперимента - выявить закономерности случайных явлений, процессов.
Результат эксперимента - случайные величины (СВ), дискретные или непрерывные, определенные на всей числовой оси или на некотором интервале.
Для определения СВ необходимо знать как СВ, так и ее
вероятность p, значение которой лежит в пределах 0 <= p <=1
109 |
3 |
1.1.Элементы теории вероятностей
Плотность распределения. Функция распределения
-Зависимость между значениями случайной величины и соответствующими вероятностями называется
-плотностью распределения f(x) - для непрерывной случайной величины
-законом распределения - для дискретной случайной величины.
-Вероятность того, что случайная величина х меньше значения Х называется функцией распределения F(x).
Между функциями f(x) и F(x) существует связь
x |
f ( x) dF |
F ( x) f (t ).dt |
|
|
dx |
|
Вероятность попадания непрерывной случайной величины X
в заданный интервал (a, b) определяется по формуле
b
P(a X b) f ( x)dx
a
109 |
4 |
1.1.Элементы теории вероятностей
Числовые характеристики случайной величины:
1.Меры положения
-математическое ожидание m- среднее центральное значение, вокруг которого распределены возможные значения СВ;
• для дискретной СВ |
для непрерывной СВ |
• m xi .pi |
|
m x. f ( x)dx |
|
i |
|
- мода Mo- случайная величина, имеющая наибольшую вероятность;
- медиана Me – случайная величина, расположенная в середине диапазона, в котором СВ определена
109 |
5 |
1.1.Элементы теории вероятностей
2.Меры разброса
-дисперсия D– математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания
для дискретной СВ |
для непрерывной СВ |
|
D ( xi m)2 . pi |
|
|
D ( x m)2 |
. f ( x)dx |
|
i |
|
|
|
|
|
-среднеквадратическое отклонение
D
-размах R = xmax - xmin
-коэффициент вариации (ковариация) - отношение
выборочного среднеквадратического отклонения к выборочной средней, выраженное в процентах: V S~
x
Ковариация характеризует однородность совокупности
При V < 33% - совокупность считается количественно однородной
109 |
6 |
1.1.Элементы теории вероятностей
3. Меры формы. Функция плотности распределения f(x) может быть: - симметричной или ассиметричной;
-крутовершинной или плосковершинной;
-одномодальной или полимодальной.
Для оценки формы графика функции f(x) вводятся меры формы : - коэффициент асимметрии As и эксцесс E Для нормального закона распределения (закона Гаусса) коэффициенты As и E равны нулю
Асимметрией теоретического распределения называют характеристику, которая определяется формулой 
Эксцессом теоретического распределения -
характеристика, которая определяется формулой
109 |
7 |
1.1. Нормальный закон распределения (Гаусса)
Плотность распределения |
Функция распределения |
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
x m 2 |
|
|
|
|
|
1 t m |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f ( x) |
|
|
e 2 |
|
|
F ( x) |
|
|
x e 2 |
|
dt |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При нормировке (стандартное нормальное распределение)
|
x |
m |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x m |
|
|
|||||
z : |
|
f (x) 2 e |
|
|
|
|
|
F ( x) 1 |
|
|
e |
2 z |
dz |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На интервале [-3σ;+3σ] |
F (z) |
|
|
|
|
|
e |
|
2 z |
dz 0.9973 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интервал[-3σ;+3σ] является областью статистического допуска параметра качества
0.399
f1(x) f2(x)
6.076 10 9
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
6 |
|
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
6 |
109 |
|
x |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.399
f1(x)
f2(x)
1.487 10 6
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
x |
|
|
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальное распределение Гаусса
109 |
9 |
Нормальный закон распределения СВ
•Площадь под кривой плотности нормально распределенной случайной
величины на уровне 6 сигма равна 0.966. Это означает, что вероятность того, что случайная величина окажется вне границ m - 3σ, m + 3σ равна 0.034. В прикладном плане это означает наличие 3.4 дефекта на миллион операций или изделий. В следующей таблице представлена шкала сигм.
Сигма |
Количество дефектов на миллион |
|
1 |
691 |
462 |
2 |
308 |
538 |
3 |
66 807 |
|
4 |
6 210 |
|
5 |
233 |
|
6 |
3.4 |
|
7 |
0. 019 |
|
109 |
|
10 |