Эконометрика / Фиктивные переменные

Фиктивные переменные множественной регрессии.

До сих пор мы рассматривали в качестве факторов количественные переменные (переменные, принимающие числовые значения в некотором интервале).

Вместе с тем, может оказаться необходимым включить в модель качественный (атрибутивный) фактор (ры). Примером качественных признаков может служить пол, профессия, климатические условия.

Чтобы ввести такие переменные в модель, они должны быть преобразованы в количественные, т.е. им должны быть присвоены цифровые метки. Такого рода сконструированные числовые переменные называют фиктивными переменными.

Рассмотрим применение фиктивных переменных на нашем примере с магазинами. Признак результат y – объем продаж, тыс.руб. Признаки факторы: 1) количественный х1 – численность населения в торговой зоне, тыс. чел. 2) качественный х2 – наличие (отсутствие) кафе в магазине. Мы предполагаем, что наличие кафе (как дополнительной услуги) будет способствовать увеличению объема продаж. Введем в модель: y=a+b1∙x1+u фиктивную переменную z, которая принимает 2 значения: 1, если в магазине имеется кафе; 0, если в магазине кафе отсутствует.

Построим модель y=a+b1·x1+c·z (*)+u. Данная модель может использоваться при принятии решения об открытии кафе в магазине.

Исходные данные:

y	х1	z
6	34	0
15	92	0
12	75	0
9	36	0
17	78	1
5	8	0
11	23	1
16	69	1
9	10	0
10	25	1

Для оценки параметров модели (*) используем обычный МНК. Построим систему нормальных линейных уравнений:

В результате решения системы получим: a=4,969; b1=0,103; c= 3,525.

y’=4,969+0,103 x1+ 3,525 z R²=0,877; R=0,937; R²_скор=0,842; F=25.

(4,98) (5,82) (3,37)

В скобках указаны значения t-критерия.

Интерпретация параметров оцененного уравнения регрессии:

с- наличие кафе в среднем увеличивает на 3,525 тыс.руб. объем продаж при одной и той же численности населения в торговой зоне.

Сравним полученные результаты с результатами оценивания однофакторной модели y=a+b1·x1:

y’=6,098+0,109 x1 R²=0,678; R=0,823; R²_скор=0,638; F=17.

(4,29) (4,104)

Из модели, включающей фиктивную переменную, можно вывести частные уравнения регрессии для различных частей полной совокупности. Всю совокупность наблюдений можно разделить на 2 части: одна из них представляет те наблюдения, у которых z=1; другая – те наблюдения, у которых z=0.

а) y’=8,494+0,103 x1 при z=1 (наличие кафе в магазине)

б) y’=4,97+0,103 x1 при z=0 (отсутствие кафе в магазине)

Сопоставляя эти частные уравнения регрессии, видим, что модели, описывающие объем продаж для магазинов с кафе и без, состоят в различном значении свободного члена. В случае а) (при наличии кафе) свободный член почти в 2 раза больше, чем в случае б) (отсутствие кафе).

В рассмотренном примере качественный признак принимает только 2 значения. Если же число градаций (значений) качественного фактора больше 2, в модель вводится несколько фиктивных переменных. Их число должно быть на 1 меньше числа градаций качественного фактора. Например, пусть изучается зависимость цены 2-ухкомнатной квартиры -y от ее полезной площади –x. Введем в эту модель качественный фактор – тип дома, принимающий 3 градации(значения): «хрущевки»; панельные; кирпичные. Данной переменной соответствуют 2 фиктивные переменные z1 и z2:

Тип дома	z1	z2
«хрущевки»	0	0
Панельные	1	0
кирпичные	0	1

Модель будет иметь вид: y= a+b1·x1+c1·z1+c2·z2+u (**).

В результате оценивания с помощью МНК получено следующее уравнение: y’=320+500·x1+2200·z1+1600·z2.

Частные уравнения регрессии, соответствующие различным значениям качественного признака:

Для «хрущевок»: y’=320+500x1;

Для панельных: y’=320+2200+500x1=2520+500 х1;

Для «хрущевок»: y’=320+1600+500x1=1920+500 х1.

Параметр при фиктивной переменной z1 представляют собой разность между средним уровнем y для соответствующего z1 значения качественного фактора (для которого z1=1) и среднем уровнем y для базового значения качественного фактора (для которого z1=z2=0).

Параметр при фиктивной переменной z2 представляют собой разность между средним уровнем y для соответствующего z2 значения качественного фактора (для которого z2=1) и среднем уровнем y для базового значения качественного фактора (для которого z1=z2=0).

В данном примере базовым значением качественной переменной являются «хрущевки». Параметр с1=2200 означает, что при одной и той полезной площади квартиры ее цена в панельных домах (z1=1) в среднем на 2200 тыс.руб. выше чем в «хрущевках». Параметр с2=1600 означает, что при одной и той же полезной площади, цена квартиры в кирпичных домах в среднем на 1600 тыс.руб. выше чем в «хрущевках».

Графически частные уравнения регрессии представляют собой линии, сдвинутые по оси ординат.

3