Окончание табл. 2

0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554

1,05 1,10 1,15 1,20 1,25

0,3531 0,3613 0,3749 0,3849

Вероятность получения случайной величины в различных диапазонах значений можно удобно определять с помощью специальных номограмм (pис. 1б.). Например, вероятность получения х_i в пределах  равна.

97,728 – 2,272 = 95,456%.

При нормальном законе распределение размеров деталей при изготовлении распределение зазоров и натягов также будет подчиняться нормальному закону (рис. 2б.), а вероятность их получения определяться с помощью интегральной функции вероятности Ф(z) (табл. 2). Последовательность проведения расчета поясним на конкретном примере.

Пример расчета вероятности появления зазоров и натягов в соединении

Необходимо рассчитать ожидаемую при сборке долю соединений с зазором (вероятность зазора) и долю соединений с натягом (вероятность натяга) для посадки

.

Числовые значения допусков и отклонений выбирать из таблиц Приложений 15, 16, 17, 18, 19, 20.

1. Построим совмещенную схему полей допусков вала и отверстия (номинальный размер обозначаем в мкм, а отклонение в мм, рис. 2а.)

2. По ранее выведенным формулам рассчитываем:

а) допуск отверстия TД

TD = ES – EI = 30 – 0 = 30 мкм

б) допуск вала Td

Td = es – ei = 39 – 20 = 19 мкм

в) максимальных зазор S_max

S_max = ES – ei = 30 – 20 = 10 мкм

г) максимальный натяг N_max

N_max = es – EI = 39 – 0 = 39 мкм

Зазор и натяг величины положительные и изменяются от 0 до S_max (в примере от 0 до 10 мкм) и от 0 до N_max (в примере от 0 до 39). Но если формально применить зависимости для определения минимальных зазоров и нагягов то

N_min = – S_max; S_min = – N_max

д) допуски посадки ТП

ТП = TD + Td = 30 + 19 = 49 мкм

ТП = S_max + N_max = 10 + 39 = 49 мкм

3. Считаем, что для обеспечения минимума затрат на изготовление деталей (включая возможный брак) поле рассеяния размеров вала и отверстия соответственно равны их допускам.

TD = 6_от (5)

Td = 6_в (6)

На основании (5, 6) находим средние квадратичные отклонения для размеров вала и отверстия.

мкм; мкм

5. Определим среднее квадратическое отклонение допуска посадки (натяга или зазора)

мкм

6. Строим кривую рассеяния допуска посадки (рис. 2б.):

а) На оси абцисс откладывается в мкм значение допуска посадки (ТП), как сумма максимального натяга (слева) и максимального зазора (справа):

б) Середину поля допуска посадки

ТП/2 = 49/2 = 24,5 мкм принимаем за начало координат;

Рис. 2. Определение вероятности появления зазоров и натягов в соединении

в) Находим абциссу разделений зазоров и натягов от начала координат

мкм

Эта абцисса является средним натягом

мкм

г) Относительно начала координат симметрично откладываем поле рассеяние посадки: в плюс + 3_п = 35,9 = 16,8 мкм и в минус – 3_п = – 35,9 = – 16,8 мкм.

д) Строим кривую рассеяния по формуле (7), полученной из формулы (3)

, (7)

(8)

где значение независимой переменной z находится из соотношения (8). Значения х принимается равными

, ,и т.д.

Следует отметить, что для определения вероятности появления зазоров и натягов в соединении основную роль играет рассеивание размеров, откладываемых по оси абцисс. Точность построения ординат кривой не имеет такого существенного значения. График кривой нормального распределения используется для иллюстрации применения интегральной функции Ф(z).

7. Определяем значение нормированной абциссы (предела интегрирования при натягах, равных нулю)

.

8. По табл. 2 находим значение функции Ф(z).

при z = 2,46; Ф(z) = 0,493.

9. Если применяется посадка с натягом, то поле рассеяния посадки равно полю рассеяния натягов. Вероятность появления натягов равна Р = 0,5 + 0,5 = 1 (50% + 50% = 100%) и складывается из двух симметрично расположенных относительно оси ординат площадей, ограниченных кривой осью абцисс. В переходной посадке натяги составляют часть поля рассеяния посадки до абциссы равной N_c.

Значит вероятность появления натягов складывается из двух площадей под кривой Гауса: левой половины Р = 0,5 и части правой половины от оси ординат, ограниченной ординатой, соответствующей абциссе z, т.е. равной Р = Ф(z).

Р_N = 0,5 + Ф(z) = 0,5 + 0,493 = 0,993.

Вероятность появления зазоров будет равна оставшейся площади под кривой

Р_S = 1 – Р_N = 1 – 0,993 = 0,007

Или ее можно определить по другой формуле, как разность полной площади под правой половиной кривой Р = 0,5 и площади под правой половиной кривой соответствующей вероятности появления натягов с абциссой z Р = Ф(z)

P_s = 0,5 – Ф(z) = 0,5 – 0,493 = 0,007

Следовательно, при сборке примерно 99,3% всех соединений (993 из 1000) будут с натягом и 0,7% соединений (7 из 1000) с зазорами.