Выборочное среднее и выборочная дисперсия
Среднее значение случайных величин статической совокупности отражает действие общих для данного явления закономерностей. Множество самых разнообразных случайных причин, различным образом взаимодействующих друг с другом, определяет результат отдельного единичного наблюдения. При вычислении среднего значения происходит взаимопогашение случайностей. Поэтому среднее значение выражает закономерности, присущие всей совокупности наблюдений. Таким образом, среднее значение следует рассматривать как свободную, обобщающую характеристику совокупности наблюдений.
Выборочное среднее y вычисляют по формуле
,
где yi-значение i-го наблюдения.
В случае, когда диапазон измерения наблюдаемой величины разбит на интервалы, для вычисления среднего значения y выборки нужно предварительно заменить интервалы их срединными значениями (см. 4-й столбец табл.1.1). если обозначить через yin нижнюю границу i-го интервала, а yie-его верхнюю границу, то срединное значение каждого интервала yi* можно найти по формуле
.
Затем определяется среднее значение у выборки:
,
где n-общее количество наблюдений;
mi-количество наблюдений, попавших в i-й интервал;
k-число интервалов, на которые разбита выборка.
Найденное из выборочной статистической совокупности значение y называют оценкой математического ожидания, или выборочным средним, в отличие от генерального среднего, которое можно найти из генеральной совокупности.
Очевидно, что одной средней величиной нельзя отобразить все характерные черты статистической совокупности. Так, например, в каждом из двух сравниваемых предприятий средняя производительность труда всех бригад может оказаться приблизительно одинаковой. Однако в одном из этих предприятий могут иметься передовые бригады с высокой производительностью труда и отстающие бригады с низкой производительностью, а в другом производительности всех бригад близки к средней величине. Поэтому исследователя, занимающегося вопросами повышения производительности труда, будет интересовать не только средняя производительность бригад, но и разброс, рассеивание величины производительности относительно среднего значения.
Характеристики рассеивания играют большую роль при оценке качества продукции. Как известно, качество массовой продукции оценивается по степени однородности характеристик продуктов. Если размеры изготовления деталей группируются вблизи номинального значения, в пределах допусков, причем средний размер деталей совпадает с номинальным, то это означает, что данный технологический процесс отвечает существующим нормам и стандартам.
Иными словами, исследователю необходимо знать изменчивость, или вариацию, наблюдаемой характеристики объекта. Самый простой способ, которым можно охарактеризовать изменчивость характеристики объекта, состоит в определении размаха случайной величины. Размах равен разности между наибольшим и наименьшим наблюдениям. Однако величина такого показателя будет зависеть от случайностей расположения крайних наблюдений статистической совокупности. В то же время основная масса наблюдений, которая заключена между наименьшим и наибольшим наблюдениям, не найдет никакого отражения в этом показателе.
В большинстве случаев для характеристики изменчивости выборки используют выборочную дисперсию (оценку дисперсии) s^2, которая является обобщающей статистической характеристикой вариации наблюдений. Оценка дисперсии s^2 определяется по формуле
Или по формуле
Этими выражениями удобно использоваться при небольших объемах выборок.
Если диапазон изменения наблюдаемой величины разбит на m интервалов, то оценка дисперсии определяется по формуле
Из формулы видно, что оценка дисперсии вычисляется как среднее значение квадратов отклонений случайных величин от среднего значения.
Корень квадратный из оценки дисперсии называют выборочным средним квадратическим отклонением
При вычислении оценки дисперсии учитываются все наблюдения статической совокупности. Чем больше отклонение случайных величин от среднего значения, тем больше оценка дисперсии и среднее квадратическое отклонение. Таким образом, оценка дисперсии и среднее квадратическое отклонение характеризуют степень разброса случайных величин относительно среднего значения.
Достоинство величины среднего квадратического отклонения заключается в том, что ее размерность совпадает с размерностью измеряемой величины.
В знаменателе формулы фигурирует выражение (n-1), которое называется числом степеней свободы f. В общем случае число степеней свободы равно количеству независимых значений, участвующих в определении того или иного параметра статистической совокупности.
Потерю одной степени свободы при вычислении оценки дисперсии s^2 можно объяснить следующим образом. Если статистическая совокупность содержит один единственный элемент, то по нему можно хотя бы грубо, с большой ошибкой, но все же найти среднее значение y. Однако по единичному измерению нельзя даже грубо оценить рассеивание случайной величины. Для оценки рассеивания необходимо иметь, как минимум, два измерения. Одно из этих измерений (степень свободы) мы как бы теряем перед вычислением дисперсии для вычисления среднего значения, без которого нельзя найти оценку дисперсии.
Часто для оценки изменчивости (вариации) случайных величин используют коэффициент вариации u. Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению выходной величины y в процентах:
Он характеризует степень изменчивости (вариации) случайных величин по сравнению со средним значением.