механика.физика / стр.87-99

с

читать одинаковым (так как нить по условию невесомая), поэтому по численному значению = и аналогично справа от блока = . Кроме того на блок действует сила тяжести и сила реакции опоры (сила упругости со стороны оси) .

Когда система состоит из нескольких тел, уравнение II закона Ньютона записывается для к а ж д о г о т е л а в отдельности.

Все рассмотренные силы действуют по вертикали, поэтому достаточно рассмотреть их проекции на одну ось, направим ее вниз. Так как движение начинается из состояния покоя, направления ускорений совпадают с направлением скоростей для каждого тела.

Р е ш е н и е. Для тела в проекции на ось x:

.

Для тела в проекции на ось x:

.

Для блока:

(блок поступательно не движется).

Чтобы записать II закон Ньютона для вращательного движения блока, рассмотрим моменты сил, действующих на блок, приняв направление вдоль оси вращения "от нас" за положительное направление оси z.

Линии действия сил и проходят через ось вращения, следовательно, их моменты равны нулю. Момент силы в проекции на ось z:

. Момент силы в проекции на ось z: , где R - радиус блока.

Таким образом, II закон Ньютона для вращательного движения блока:

,

где - момент инерции блока как сплошного диска равен

.

Движения тел не являются независимыми. Так, из условия нерастяжимости нити следует, что , из условия отсутствия проскальзывания нити по блоку тангенциальное ускорение точек блока в месте соприкосновения с нитью равно ускорению нити и груза, тогда .

Математическая модель:

(1)

(2)

(3)

(4)

Уравнение (4) с учетом выражений для и :

, (5)

вычитая из (2) (1) с учетом (5) получим:

,

отсюда

;

подставим в (1) и в (2) и найдем силы и

,

.

Из (3) найдем силу реакции оси:

.

Подстановка числовых данных () приводит к результату:

(Н) - сила реакции оси.

По III закону Ньютона блок действует на ось с такой же силой, но направленной вниз.

А н а л и з п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в

1. Силы натяжения нитей лежат в интервале .

2. Сила давления блока на ось несколько меньше, чем суммарная сила тяжести грузов и блока (Н).

3. В случае невесомости блока и отсутствия трения

и ,

то есть натяжение нити слева и справа от блока одинаково.

4. Если , =0 - грузы находятся в покое или движутся равномерно, и сила давления блока на ось равна суммарной силе тяжести грузов и блока.

При решении задач II типа (на криволинейное движение) необходимо рассмотреть проекции сил на направление касательное к траектории и направление нормальное к траектории:

; ,

Если движение тела происходит по криволинейной траектории, удобнее рассмотреть проекции сил на направление касательное к траектории и направление нормальное к траектории:

; ,

где - тангенциальное ускорение;

- нормальное ускорение.

Направления координатных осей в этом случае не будут постоянными во времени.

З а д а ч а 3. Автомобиль массой движется с постоянной скоростью по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 90 м. Найти силу давления автомобиля на мост в точке, положение которой задается углом (см. рис.)

А н а л и з. Выберем координатные оси так, чтобы они в любой момент времени совпадали с касательной и нормалью к траектории. Так как автомобиль движется с постоянной скоростью, и сумма проекций сил тяжести, тяги и трения на касательную к траектории тоже равна нулю. Полное ускорение, таким образом, сводится к нормальной составляющей, которая направлена вдоль радиуса к центру кривизны и определяется суммой проекций силы и силы реакции опоры на ось . (Силы тяги и трения не имеют проекций на эту ось). Запишем II закон Ньютона в виде

.

Р е ш е н и е. , , .

Математическая модель задачи:

, (1)

откуда

Искомая сила давления автомобиля на мост связана с силой реакции третьим законом Ньютона и по численному значению равна :

. (2)

А н а л и з п о л у ч е н н ы х р е з у л ь т а т о в

1. Из (2) следует, что при уменьшении угла сила давления на мост возрастает и достигает максимума в верхней точке (соs 0⁰=1):

2. Сила давления автомобиля на выпуклый мост во время его движения меньше силы тяжести.

3. в двух ситуациях:

а) если V=0, то есть автомобиль не движется, или

б) если , то есть, если мост плоский.

4. Если мост вогнутый, то в выражении (2) можно принять (или в выражении (1) поменять знак при нормальном ускорении, т.к. ), тогда получим, что давление на мост при движении автомобиля больше его силы тяжести.

5. Задание: проанализировать ситуации при которых возможно, что .

З

y

а д а ч а 4. Сплошной однородный цилиндр скатывается без скольжения с наклонной плоскости. Трением качения пренебречь.

А н а л и з. На цилиндр действуют сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения покоя. Сила трения покоя возникает как результат взаимодействия цилиндра с плоскостью в силу того, что точка А цилиндра в каждый данный момент неподвижна (не проскальзывает) относительно плоскости. Силой трения каче

ния по условию можно пренебречь, но силой трения покоя пренебречь нельзя, так как в противном случае цилиндр не катился бы (силы и не могут вызвать его вращения), а соскальзывал по плоскости. Условие качения без проскальзывания вытекает из той особенности силы трения покоя, что ее м а к с и м а л ь н о возможное значение определяется как , где - коэффициент трения, и может быть записано в виде неравенства: