33

м

Плотность

Плотность воздуха при нормальных условиях

1,29 Кг/м3

Плотность воды

1,0103 Кг/м3

Средняя плотность Земли

5,5103 Кг/м3

Плотность ядерного вещества (порядок величины) 10¹⁷ кг/м³

атериальной точки произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси вращения:

,

а для тела определяется суммой произведений масс отдельных его точек на квадраты их расстояний от оси вращения:

.

Это вытекает из экспериментально установленного факта а д д и т и в н о с т и момента инерции, выражающегося в том, что момент инерции системы равен сумме моментов инерции отдельных частей этой системы (тело можно рассматривать как систему материальных точек).

Момент инерции

Более строго, так как тело состоит из бесконечно большого числа материальных точек, а масса одной точки, момент инерции тела следует искать как предел суммы:

,

ч

СИ:

СИ:

то в математике принято называть определенным интегралом и обозначать:

, (w)

где -бесконечно малая часть массы тела, сосредоточенная в бесконечно малом объеме;

- плотность вещества.

Приведем формулы для вычисления моментов инерции некоторых однородных тел, полученные по определению (w).

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр (или кольцо) радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиуса R	Ось проходит через центр шара

Очевидно, что при изменении оси вращения изменяется распределение массы тела относительно оси, следовательно, и его момент инерции.

Теорема Штейнера

Теорема Штейнерапозволяет находить момент инерции тела относительно произвольной оси, если известен момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс:

М о м е н т и н е р ц и и т е л а о т н о с и т е л ь н о п р о и з в о л ь н о й о с и (I) р а в е н с у м м е м о м е н т а и н е р ц и и э т о г о т е л а о т н о с и т е л ь н о о с и, п а р а л л е л ь н о й д а н н о й, н о п р о х о д я щ е й ч е р е з ц е н т р м а с с (I_c), и п р о и з в е д е н и я м а с с ы т е л а (m) н а к в а д р а т р а с с т о я н и я м е ж д у о с я м и (d).

О

ПРИМЕР.

Рис. 25-а

О

О

Рис. 25-б

О

пределить момент инерции стержня, вращающегося вокруг оси, проходящей через один из его концов (рис. 25-а).

Если ось вращения проходит через центр масс (рис. 25-б), то , тогда для оси, проходящей через конец стержняи по теореме Штейнера.