Линейная алгебра

Решение:

1)

2) Каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки

А₁ (x₁,y₁,z₁) и А₂ (x₂,y₂,z₂), имеет вид:

или в параметрическом виде:

; .

Аналогично уравнение прямой, проходящей через две точки

А₁ (x₁,y₁,z₁) и А₄ (x₄,y₄,z₄), имеет вид:

; ;

Замечание: ноль в знаменателе означает, что прямая, проходящая через точки

А₁ (x₁,y₁,z₁) и А₄ (x₄,y₄,z₄), перпендикулярна оси ОY.

Угол между двумя прямыми определяется по формуле:

3) Найдем уравнение плоскости ,проходящей через точки А₁, А₂ и А₃.

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией на плоскость. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями

Тогда

4) , где h – высота, опущенная из точки А₃ на

отрезок А₁А₂ с уравнением

Найдем уравнение перпендикуляра.

Запишем его уравнение как

Условие перпендикулярности прямых:

Условие прохождения через точку А₃ (6;2;0)

Получили условие принадлежности искомого перпендикуляра плоскости

Тогда

Направляющий вектор искомой прямой находим как векторное произведение

(-2;1;3) и (2;13;-3)

; ;

Итак, уравнение перпендикуляра:

или

и отрезок А₁А₂ с уравнением

их точку пересечения P (3;2;-2) находим путем решения системы линейных уравнений.

Длина перпендикуляра

5) Рассмотрим векторы , и , на которых построена пирамида.

Зная координаты начала и конца каждого вектора, получаем объема пирамиды на основании формулы:

6) Из точки А₄ (0;2;2) опускаем перпендикуляр, уравнение плоскости :

Прямая, проходящая через точку А₄ (0;2;2) и перпендикулярная плоскости , имеет направляющий вектор ,

следовательно, искомая прямая представляется уравнением

7) уравнение плоскости, определяемой высотой

и точками А₁ (3;2;-2) и А₄ (0;2;2)

искомая плоскость определяется двумя прямыми: высотой пирамиды и гранью А₁А₄

уравнение грани А₁А₄:

;

Выразим прямые параметрически:

и

Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые:

,

Тогда уравнение плоскости

Решение:

Данные векторы образуют базис в L_n = L₄ тогда и только тогда, когда число векторов равно n=4 и detA0, где A – матрица из координатных столбцов данных векторов.

Итак, заданные векторы действительно образуют базис в четырехмерном пространстве.

Найдем координаты вектора в этом базисе.

Обозначим координаты вектора

или

x=1/3; y=2; z=3; t=1

координаты вектора

Решение:

Обозначим

Тогда

Число  и вектор-столбец называются собственными, если

Нам нужно, чтобы эта система имела нетривиальное (ненулевое) решение. А поскольку тривиальное решение у неё есть всегда, требуется, чтобы к-во решений было бесконечным. Это означает, что детерминант матрицы должен быть нулевым, что и даёт уравнение на собственные числа.

Для нахождения собственных значений матрицы A составляем характеристическое уравнение:

Имеет три корня: ₁=-1; ₂=1; ₃=5.

Для корня ₁=-1

, где t – параметр

Для корня ₂=1

,

, где t – параметр

Для корня ₂=5

,

, где t – параметр