Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математический анализ / Паша

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Оглавление
БИЛЕТ. 1. Последовательность называется ограниченой, если > 0 ≤ .................................	1
БИЛЕТ.2. Точная верхняя и точная нижняя грань множества...............................................................................	2
БИЛЕТ. 3. Числовая последовательность − это занумерованное мн − во действительных чисел ................	2
Билет.5. Бесконечное большие посл − ти..................................................................................................................	3
БИЛЕТ.6,7. Арифметические свойства пределов последовательности................................................................	3
БИЛЕТ.8.............................................................................................................................................................................	4
БИЛЕТ.9.............................................................................................................................................................................	5
БИЛЕТ 11. Число е............................................................................................................................................................	6
БИЛЕТ 13. Подпоследовательности. ..............................................................................................................................	7
Частичные пределы. Теорема о частичных пределах..................................................................................................	7
сходящейся подпоследовательности. ...........................................................................................................................	7
БИЛЕТ 14. Теорема Больцано-Вейерштрасса................................................................................................................	8
БИЛЕТ 15. Критерий Коши сходимости .......................................................................................................................	10
последовательности......................................................................................................................................................	10
БИЛЕТ 16. Два определения предела..........................................................................................................................	11
функции. Эквивалентность определений. ..................................................................................................................	11
БИЛЕТ 19. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами. ....................................................................	12
БИЛЕТ 21. Первый замечательный предел. ................................................................................................................	13
БИЛЕТ 22. Второй замечательный предел. .................................................................................................................	14
БИЛЕТ 25. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры ..................................................................................	15
БИЛЕТ 26. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. ...........................................	16
БИЛЕТ 27. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры. .................................................................................	17
БИЛЕТ 28. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций. ........	18
БИЛЕТ 30. Классификация разрывов. Примеры. ........................................................................................................	19
БИЛЕТ 32. Первая теорема Вейерштрасса...................................................................................................................	20
БИЛЕТ 33. Вторая теорема Вейерштрасса. ..................................................................................................................	20
БИЛЕТ 34.35. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении....................	21

БИЛЕТ. 1. Последовательность { } называется ограниченой, если > 0

| ≤

Доказательство.

)Фиксируем > 0

){

} ограничена > 0 | |

≤

){

} − б. м. посл − ть.

> 0 >

| | <

∙

| = |

| ∙ |

| <

∙ =

т. о > 0 >

∙ | < {

} − б. м. посл − ть.

Следствие.

{ } − б. м. посл − ть. тогда для С посл − ть { ∙ } − б. м. посл − ть.

Пусть {

} = { , , … , , …

}

| | ≤

| | { } − огр. посл − ть.

{ } − б. м. посл − ть { } = {

} − б. м. посл − ть.

Пример.

lim	sin	= lim	[sin ∙	1	] = 0

→∞		→∞

БИЛЕТ.2. Точная верхняя и точная нижняя грань множества.

1)Наименьшая из всех верхних граней множ. нзаывается точной верхней гранью множ. и обознач: sup . 2)Наибольшая их всех нижних граней множ. называется точной нижней гранью множ. и обознач:inf .

Имеем ≤ т. е свойство 1 − верно 1′)Точная верхняя грань число для множества ( = ); если для:

1) , ≤ 2) > 0 > −

2′)Число называется точной нижней гранью множества ( = inf ), если: 1) ≥ ; 2) > 0

Утверждение.Опр. 1 Опр. 1′

Доказательство. 1) . Дано Опр. 1, т. е = sup − наименьшая из всех верхних граней.

Т. к − верхняя грань, то по опр. ограниченночти имеем ≤ т. е свойство Опр. 1 − верно Докажем, что > 0 > = . Предположим противное(П. п. ) что,

> 0 ≤ − → − − верхняя грань множ. , причем − < −

−противоречие т. к − наименьшая верхняя грань > 0 > − т. е −

−пункт 2 опр. 1′ − доказан.

2). Дано Опр. 1′, т. е для = sup ≤ ≤

> 0 > −

Из − верхняя грань множества . Н. д. что − наименьшая из всех верхни граней.

П. п. − не наименьшая верхняя грань, т. е верх. грань ′, т. е ′ < . Пусть = − ′ > 0.

По свойству для = − ′ : > − ; − = − ( − ′) = ′т. е.> ′ − противоречит, т. к ′ − верхняя грань, т. о. − наименьшаяя верх. грань

Теорема о существование точной верхней(нижней) грани. Всякое не пустое ограниченное сверху (снизу)

множество имеет точную верхнюю(нижнюю грань).

Доказательство. Пусть не пустое ограниченное с верху мн − во. Т. к огр. сверху, то у него есть хотя бы

одна верхняя грань. Обозначим − мн − во всех верхних граней мн − ва , т. е= { : ≤ } ≠ 0 т. е

Множество имеет хотя бы одну верх. грань. Спр − во и два не пустых числовых мн − ва.

Т. ч. , ≤ .

Тогда по св − ву непр. дейст. чисел существует , такое что

: ≤ ≤ , ≤ − верхняя грань≤ − наименьшая верхняя грань мн − ва . = sup .

БИЛЕТ. 3. Числовая последовательность − это занумерованное мн − во действительных чисел.

Число назыв. пределом посл − ти { }, если выполняется следующее:

> 0 > | − | < , lim =

→∞

Геометрическая Иллюстрация предела посл-ти.\|			− \| < − <	− < − <	< + >



1 2 −	+ 3
		Мн − во = ( − ; + ) = { : − < < + }

Теорема о связи б.м. и сходящейся последовательности.
lim =	= + , где { } − б. м. послед.
→∞
→∞

Доказательство.1. . lim = > 0 > | − | < . Обозначаем через = −

→∞

> 0 > |

| <

{ } − б. м. последовательность.

2. . = + , где

− б. м.

{ } − б. м. > 0 >

| |

− > 0 > |

− | < lim

→∞

Билет.4. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

Последовательность { } называется б. м. , если ее предел равен 0. Т. е > 0 > | | <

Теорема 1. Пусть

{ } и { } − б. м. последовательность тогда

{

+ } − б. м. посл − ть

{

∙ }

− б. м. посл − ть

Доказательство

. 1) Докажем, что {

}

− б. м. посл − ть.

Фиксируем > 0

{ } − б. м. посл − ть для

> 0 >

| <

{ } − б. м. посл − ть. для

ε2> 0

| | <

ε2

Пусть = max( , ) n > N

| | <

+ | ≤ |

| + | |

= ε n > N.

1 2

Таким образом > 0 = max( , )

+ | < ε

lim (

+ ) = 0 т. е {

+ }

− б. м. посл − ть.

→∞

{

∙ } − б. м. посл − ть.

2) Нужно доказать, что

Фиксируем > 0

{

} − б. м для данного > 0

| |

{

} − б. м. для числа 1 > 0

| < 1

Пусть = max( 1, 2) | ∙ | = | | ∙ | | < ∙ 1 = >> 0 = ( 1, 2) > | ∙ | < − б. м. посл − ть.

Следствие.1) ∑ конченого числа бесконечно малых последовательностей и есть беск. малая посл − ть. 2)Произведение беск. малых послед и есть беск. малая послед.

Билет.5. Бесконечное большие посл − ти.

Посл − ть { } назыв. беск. большой, если > 0 > | | > . Обозначаем lim = ∞

Пример { } = {1; −2; 3; −4; … }

→∞

Теорема. Пусть { } − б. б. посл − ть. и { } ≠ 0 , тогда { 1 } − б. м. посл − ть.

Доказательство.

Фиксируем > 0

Т. к. { } − б. б. посл − ть. для

> 0 > |

| >

| =

Т. О. > 0 > |

| <

{

} − б. м. посл − ть.

Рассмотрим { } = {ln }

− б. б. посл − ть. т. е

lim

= +∞

→∞

БИЛЕТ.6,7. Арифметические свойства пределов последовательности.

Теорема. Пусть {

}, { } − сходящиеся послдеовательности. Тогда

{

± } − схлжящиеся посл − ти,

причем lim (

) = lim

+ lim

→∞

lim

(

∙

) = lim

∙ lim

→∞

{

} = { , , … , , … } { }

{ , , … , , … }

1 2

{ +

} = { + , + , … , + , … }

Докозательство.1){ } − сходящ. посл − ть lim

= = + , где {

} − б. м, { }

− сход. посл.

→∞

lim

= + , где

{ }

− б. м. +

= ( + )

+ ( + ) = ( + ) + (

+ ),

→∞

{ }, {

} − б. м.

{

+ } − б. м. lim ( + ) = + = lim + lim

→∞

2) ∙ = ( +

) ∙ ( + ) = + ( + + ) ,

{ } − б. м { ∙

} − б. м; { }

− б. м

{ ∙

} − б. м. , {

}, {

}

− б. м. {

−

} {

} − б. м посл − ть. lim (

−

) =

→∞

= ∙ = lim

∙ lim

→∞

Теорема.Предел частного.

Пусть

{

}

− сходящ посл − ти, причем

≠ 0 , lim

≠ 0, Тогда

{

} − сходящ. посл. ,

→∞

lim

→∞

Причем lim

→∞

lim

→∞

Доказательство.{ },

{

} − сход. посл − ть. lim

= , lim

= +

, = + ,

→∞

− −

−

где {

}{ }

− б. м.

−

= ( −

) −

( + )

( +

)

− б. м. {

∙

} − б. м. ,

− б. м. Докажем, что {

} − огр посл − ть.

{

} − б. м для >

| |

| + | ≥ | |

−

| > | | −

| |

> 0 ≥

> . Пусть = max (

, … ,

) |

| ≤

| +

| |

| +

| | |

lim

→∞

{

} − огр. посл − ть. Т. О. {(

−

) ∙

} − б. м. lim

→∞

lim

→∞

БИЛЕТ.8.

Теорема: (о единственности предела): Если an -сходящаяся, то предел единственный.

Доказательство:

Пусть a lim an , b lim an , a b .

Для определенности a b имеем:

0 N1 ( ) : n N1 ( ) an a0 N2 ( ) : n N2 ( ) an b

b a			b a				b a
	0	N max N1			, N	2			n N .

2				2				2

b a

a b

< an

b a

a b

< an

b a

3a b

a b

3b a

< an

Противоречие.

Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности):

an - сходящаяся a : 0

N ( ) : n N( ) an

Если

a	n
	n
.

-сходится, то она ограничена.

Возьмем =1 n N(1) a 1 an a 1 .
Обозначим M max a1 , a2 ,..., an 1 , a 1 , тогда n an
m min a1 , a2 ,..., an 1 , a 1 , тогда n an

Отсюда для обоих случаев n

Замечание: обратное не верно.

a	n	M
	n

БИЛЕТ.9.

Теорема: (о предельном переходе в неравенство):

Пусть lim an		0		, lim bn	b . n N0	an	bn . Тогда
n				n
Замечание:	an		bn

a b .

Доказательство (от противного):

Пусть a b .

n n

0	N ( ) : n N ( )
0	N ( ) : n N ( )
	1	1
0	N	( ) : n N	( )
	2	2
Возьмем		a b
Возьмем		.
		2

Обозначим

a	n	a

b		b
	n





a b

n N .

N max N0 , N1

, N

a b

3b a

a b

3b a

a b

- противоречие.

Замечание: Если для элементов последовательности выполняется

a b .

an =	1	, bn =	1	, an	bn	n lim an	lim bn	0 .
	n		n
						n	n

a	n

, то отсюда не следует, что

a	n

БИЛЕТ.10. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение: an -монотонно возрастающая (монотонно убывающая),

если n an 1 an ( an 1 an ). Если неравенства строгие, то последовательности строго возрастающие (убывающие).

Теорема (о пределе монотонной последовательности). Пусть

a	n
	n

-монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем
lim an	sup an .
n

Доказательство:

an ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней

грани S sup an . Докажем, что S lim an .

S sup an : 1) n an S


2)	0 n : a	n		S .
		n
Возьмем произвольный 0			, обозначим

n n 1)=> an S S

2)=> an an (монот. возр).

Из этого следует, что , S an

N( )

из 2).

n n

an S .

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)

БИЛЕТ 11. Число е.

Сложно доказать, что функция (1 x)1/ x при x 0

имеет предел. Этот предел обозначается буквой e в честь открывшего его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что этоиррациональное число и что e =2,718281828459…. Формула, определяющая число e по традиции называется второй замечательный

предел.						e lim									(1 x)										1/ x			. Также число e -основание
предел.						e lim									(1 x)													. Также число e -основание
											x0
натуральных логарифмов.
																						1					n
Рассмотрим											a											1				.
											a	n				1
												n										n
																						n
1. Ограниченность.
C		k						n!							-биноминальный коэффициент
		k													-биноминальный коэффициент
		n		k!(n k )
		n

.
						1		n					n		k 1						k									1		n(n 1)					1			n(n 1)(n 2)								1
													n
an																						1 n																												...
an		1				n			Cn													1 n								n			1 2				n	2				1 2 3							3	...
						n					k 0						n													n			1 2				n					1 2 3					n
+ n(n 1)...2 1														1					2				1				1	...			1		2		1				1				1	...						1
	1 2 3 ... n																		2									...					2											...
	1 2 3 ... n													n n									2!				3!				n!			1	2			1 2 2			1		2 2 2					1 2 2... 2
			1		1					2							1							n 1			<
2			1		1						...						1										<
2											...
			2		2												2
			1			1					2							1								n								1				1
2			1			1												1									...					2		1				1			3
2													...														...					2							1		3
			2			2												2																2		1			1
																																				1			2
																																							2
2. Монотонность.
					1		n				n					1				k									1		n(n 1)					1			n(n 1)(n 2)							1
											n
an														k								1 n																										...
an		1			n				Cn													1 n							n				1 2			n	2				1		2 3		n		3	...
					n						k 0					n													n				1 2			n					1		2 3		n

+	n(n 1)...2 1					1						1		1				1		2	1				1			2			n 1		1	.
+	1 2 3 ... n						n	2 1							1				1			... 1			1			... 1						.
						n	n					n		2!				n		n	3!				n			n				n	n!
						n						n		2!				n		n	3!				n			n				n	n!
		n 1				1				k					1		1			1				2		1				1				2
		n 1								2
			k
an 1 Cn 1												1					2!		1			1		1			... 1				1		n 1
		k 0		n 1										n 1			2!			n 1			n	1		3!			n	1			n 1
…			2										n 1			1					1					2						n 1
…								... 1											1				1					... 1					.
	1							... 1											1				1					... 1					.
		n	1										n 1			n!				n	1				n 1							n 1
		n						1		n				an 1			an .
1		n 1			n					n				an 1			an .
		n 1			n				1 !
По теореме о монотонности последовательности an - сходится.
БИЛЕТ 12. Лемма о вложенных отрезках.
Пусть k =						k , k					,		k	=1,2,…, причем 1									2			3			... k					…,

	...
	...

то есть

	k 1

	k

k k 1 k . Тогда c R : c k	k , то есть k k	c k .
Доказательство.
Рассмотрим A k , k N , A 0 ,	A ограничено сверху, так как любое k		является верхней границей множества
силу вложенности отрезков. c R : c sup A . Тогда:
а) c - верхняя граница A , то есть k k c .
б) c - наименьшая из всех границ, то есть k c k .
k k c k .

Замечание: Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.

k 0, 1 . k

(	]	]	]	]
0		1/3	1/2	1

БИЛЕТ 13. Подпоследовательности.

Частичные пределы. Теорема о частичных пределах

сходящейся подпоследовательности.

Определение: Пусть дана некая последовательность a1 , a2 ,..., an . Из элементов этой последовательности

извлечем другую последовательность an1 , an2 ,..., ank

где последовательность nk -номера элементов

исходной последовательности, причем n1

... nk

...

Тогда последовательность ank -подпоследовательность

последовательности an .

Замечание: Элементы подпоследовательности выбираются в порядке их следования в исходной

последовательности.

Определение: Если lim ank k

предел последовательности

.
a	, то
an	.

-частичный

Теорема (о частичных пределах сходящейся

подпоследовательности): Пусть

тогда ank	lim ank	a .
	k

	lim a	n
	n	n
	n

Доказательство:
Возьмем произвольный
N( ) : n N( )	an
Возьмем произвольную ank

0	, тогда lim an	a
	n

a .

. Обозначим

K( ) N( ) . Тогда k K имеем:
nk k K N ank a	. Таким образом:
0 K( ) : k K( ) ank	a .

Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.

БИЛЕТ 14. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: (метод деления пополам).
I). Проведем построение системы отрезков.
an ограниченная c	0	, d	0	: c	0	a	n	d	0

n	0	c	0	, d	0	.
	0		0		0
Рассмотрим точку						c		0	d			0
								0				0
										2
1)		В отрезке					c			,	c	0
1)		В отрезке							0			0

2) число элементов

- середину отрезка			0 .
d	0	содержится бесконечное

2

an .

Тогда c0 c1 , d1				c	0	d		0	.
					0			0
						2
						2
	3)	В противном случае								c	c	0	d	0	, d0 d1 ,
	3)	В противном случае								c		0		0	, d0 d1 ,
										1			2
		1 c1											2
	4)	1 c1	, d1			-содержит бесконечное число
	5)	элементов an .
Рассмотрим точку			c		d			- середину 1							и так далее.
Рассмотрим точку			1				1	- середину 1							и так далее.
					2
1.	0 1 2 ...

2. n в n содержится бесконечное число элементов

an .

3.	n	dn	cn		0	d	0	c		0	0
3.	n	dn	cn								0

				2	n			2	n		n
				2				2			n

II). Выбор подпоследовательности

По лемме о вложенных отрезках: a : a

an1

произвольный элемент из

элемент из

………………………………………………….

ank

элемент из

nk 1

Докажем, что lim ank

a .

ank k

k 1 ... 1 0

( k ).

lim ank

a .

	n
n

БИЛЕТ 15. Критерий Коши сходимости

последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая

последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерийусловие необходимости и достаточности (<=>).

1) Необходимость: (=>).Пусть

Возьмем произвольный


	a	n	a	.
				.
				2
				2
m N						a		a

							m
			0		2				2
					2				2

lim an a .
n
0. Тогда
N	0

. Обозначим	N
	N

: n



0



0
	2
		,

тогда

m, n N( )

an am an a a am an a am a			.
an фундаментальна.	2	2
an фундаментальна.
2) Достаточность: (<=).
1. an фундаментальна => an ограниченная
0 N( ) : m, n N( ) an am	.

Возьмем 1

, m N(1) 1 N(1)

, тогда

n N(1)	a	N (1) 1		1 a	n	a	N (1)	1
Обозначим	S max a1 , a2 ,..., aN (1) 1
S min a1 , a2 ,..., aN (1) , a						1 .
					N (1) 1
n s S			an ограничена.

.

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

an ограниченная => am - сходящаяся.

Обозначим a lim an n

3. Докажем, что a lim a

n n

Возьмем произвольный

. an фундаментальная

N
	0		:
		2

n, m N

0	2

a	n	a	m



2

lim a	nK	a					ank	a
			K	2	: k K	2			2
k

Обозначим N				и выберем		K :
Обозначим N		N 0		и выберем
			2
1)	k>K
2)			N
	nk N 0		N
		2
Тогда n N .
an a an ank		ank a an ank			ank a				.
							2	2

То есть a lim an

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математический анализ

#
31.03.20153.96 Mб81Ответы.doc
#
31.03.20151.8 Mб41Ответы.pdf
#
31.03.20151.4 Mб21Паша.pdf