Деформационная теория Генки-Надаи.

Пластическая деформация, достигнутая к данному моменту нагружения, зависит не только от напряжений в этот момент, но и от пути нагружения. Причем, для каждого конкретного пути могут быть найдены конечные однозначные соотношения между напряжениями и пластическими деформациями.

Здесь видна аналогия с нелинейно упругим телом, где модули зависят от деформаций.

Основу деформационной теории и составляет перенесение такого рода конечных соотношений нелинейной теории упругости на пластическое тело.

Введем гипотезы:

1. материал изотропный

2. в соответствии с опытом, объемное расширение происходит по упругому закону, т.е. объемная деформация является чисто упругой:

(8) К – объемный модуль упругости

или

- податливость

3. компоненты девиаторов напряжений и деформаций пропорциональны.

(9)  (10)

- некоторая скалярная функция /пока не определена/.

Из /10/ следует, что

Получаются выражения для деформаций, причем - некоторая, пока неопределенная функция тензоров напряжений и деформаций.

, где G_(T) – приведенный модуль сдвига.

Р исунок в нелинейных обозначениях.

Пример:

Согласно 3-ей гипотезе: или 

Т.к. следовательно (11)

Для критерия Мизиса , т.е. в состоянии текучести функция является мерой интенсивности сдвигов.

Из соотношения /11/ следует, что в рамках деформационной теории должна существовать универсальная /не зависящая от вида процесса и напряженно-деформированного состояния/ зависимость между Т и Г, совпадающая с зависимостью  и  при чистом сдвиге. Для чистого сдвига имеем:

Используя соотношение /11/, получим:

Добавление к лекции №3

или

Функцию нагружения можно задавать в виде:

(0)

(1)

В силу условия непрерывности поверхности нагружения для рассматриваемого случая, имеем:

(2)

Из сравнения с предыдущим равенством очевидно, что равен

, (3)

/0/ называется гипотезой изотропного упрочнения /Ф. Одквист 1933/, а теория, основанная на соотношении /3/ - теория изотропного упрочнения.

Функция может быть найдена, например, из эксперимента на чистый сдвиг, причем для ее определения достаточно рассмотреть случай . Тогда и из соотношения /3/ следует:

– касательный модуль сдвига,

– сдвиговой модуль упругости.

Заметим, что при изотропном упрочнении в любой момент прямой или обратный пределы текучести равны по величине, что противоречит эффекту Баушингера. Это обстоятельство ограничивает рамки применимости теории изотропного упрочнения. В качестве параметра упрочнения можно взять выражение для рассеянной энергии .

При формулировке теории изотропного упрочнения можно было вместо Г_Р пользоваться параметром W_P и получить то же соотношение:

Тела являются практически несжимаемыми: